Как связать эти две формулировки о необходимости матрицы плотности в квантовой механике?

$\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 \rvert}\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\H}{\mathcal{H}}\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}$Связь между подсистемами и статистическими ансамблями проста: Запутанность .

Запутанность — это явление, при котором квантовое состояние более крупной системы не обязательно (но может) соответствовать однозначно заданным состояниям подсистем. Формально заданные системы$A,B$с пространствами состояний$\H_A,\H_B$и базы$\{\ket{a_i}\},\{\ket{b_j}\}$, которые объединяются в систему с пространством состояний$\H_{AB} := \H_A\otimes \H_B$, состояния, которые действительно соответствуют уникальным состояниям подсистем ( незапутанным или сепарабельным состояниям), являются состояниями, которые являются простыми тензорами, т. е. имеют вид$\ket{\phi}\otimes\ket{\psi}\in\H_{AB}$для$\ket{\phi}\in\H_A,\ket{\psi}\in\H_B$.

Если теперь нам дано произвольное состояние объединенной системы,$\ket{\chi}\in\H_{AB}$, что можно сказать о состоянии$A$? Если состояние не сепарабельно, мы не можем получить чистое состояние для$A$. Но, тем не менее, мы должны уметь «забыть» о большей системе и ограничиться рассмотрением$\H_A$(например, потому что мы знаем, что он не будет взаимодействовать с$\H_B$далее, потому что мы можем измерять только систему$A$но нет$B$, или что-то еще). Это делается с помощью частичной трассировки ¹ поверх$B$применяется к матрице плотности$\rho_{AB} = \ket{\chi}\bra{\chi}$:

Это также происходит наоборот. Начиная со смешанного состояния, т.е. набора вероятностей$p_i$Быть в$\ket{a_i}\in\H_A$, мы можем очистить государство , т.е. построить искусственное большее пространство${\H}$в котором это запутанное чистое состояние: мы просто «возводим в квадрат» пространство, т.е.$\H := \H_A\otimes\H_A$и определить$\ket{\chi'} := \sum_i\sqrt{p_i}\ket{a_i}\otimes\ket{a_i}$. Сравнивая с$(1)$, Мы видим, что$c_{ij} = p_i\delta_{ij}$, и так$p(\ket{a_i}) = p_i$. Поэтому мы построили чистое запутанное состояние, которое возвращает исходное смешанное состояние при возврате к подсистеме.

В целом, мы увидели эквивалентность «наличия смешанного состояния» и «рассмотрения подсистемы более крупной системы».

¹ Почему частичный след дает нам подсистему, следует из ее определения, если оно правильно записано, но заключается в том, что она воспроизводит$(1)$, что является просто статистически правильным способом «не заботиться» о состоянии$B$:

Рассмотрите возможность написания$\H_B = \bigoplus_j \mathbb{C}(\ket{b_j})$, а это всего лишь утверждение о том, что$\ket{b_i}$являются ортогональным базисом, и поэтому$\H_{AB} = \bigoplus_j (\H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_j}$. Тогда каждый оператор$T : \H_{AB}\to\H_{AB}$разлагается в прямую сумму операторов$T_{kl} : \H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_k} \to \H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_l}$. Нам нужны те операторы, которые действуют только на$\H_A$, так как мы хотим забыть о$B$. Это именно те, у кого$k = l$, и суммируем их, чтобы получить частично трассируемый оператор на$\H_A$:

В общем, части более крупной замкнутой системы коррелированы, и поэтому, если вы наблюдаете только одну часть, то ваши прогнозы измерений совпадают с прогнозами, полученными для этой части, находящейся в статистическом ансамбле, т.е. смешанной.
Я бы не сказал, что эти две формулировки эквивалентны, например, для того, чтобы система находилась в смешанном состоянии, вам не нужно существование большей системы, которая содержит вашу как часть.

Математически Норберт Шух указал на «очистку квантовых состояний»: учитывая ансамбль в гильбертовом пространстве$\mathcal{H}$, вы всегда можете записать его как чистое состояние на большем пространстве$\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}^{\prime}$такое, что ограничение чистого состояния на$\mathcal{H}$приводит к описанию ансамбля.

Возможно, есть второе и несколько «двойственное» описание этого: для матрицы плотности статистического ансамбля это было бы то же самое, что сказать, что у меня есть одно состояние, но я точно не знаю, какое из множества состояний оно имеет. является; таким образом, ансамбль чистых состояний описывается так же, как и состояние, в котором мы не знаем, каким состоянием оно является на самом деле. Теперь, учитывая систему как часть более крупной закрытой системы, мы сталкиваемся с аналогичным невежеством — у нас нет всей системы, поэтому локально кажется, что неясно, в каком состоянии находится система, поэтому такое ограниченное состояние будет выглядеть ансамблем.