Важность нулевых и ненулевых собственных значений матрицы плотности

Что можно сказать о квантовом состоянии по количеству нулевых и ненулевых собственных значений соответствующей матрицы плотности?

Количество нулевых собственных значений не имеет значения и в любом случае не совсем точно определено.

Если количество ненулевых собственных значений не равно единице, то существует множество различных способов записи матрицы плотности.$\rho$как когерентные разложения вида$\rho = \sum_k p_k|\psi_k\rangle\langle\psi_k|$с$\langle\psi_k|\psi_k\rangle=1$и$p_i\geq p_j \geq 0$для$i \leq j$. Ифф$\langle\psi_i|\psi_j\rangle=\delta_{ij}$, то это разложение является собственным разложением . Потому что$\rho$является эрмитовым и положительным, собственное разложение также является разложением по сингулярным значениям и, следовательно, описывает все оптимальные приближения низкого ранга (относительно евклидовой нормы) в сжатой форме. Следовательно, некоторые сообщества иногда называют эту декомпозицию оптимальной когерентной декомпозицией .

Более прагматично я недавно объяснил это следующим образом :

Для практических вычислений можно просто разложить матрицу плотности на сумму чистых состояний. Оптимальный способ сделать это (т. е. получить наименьшую ошибку для числа используемых вами чистых состояний) — это оптимальное когерентное разложение, при котором вы вычисляете разложение по собственным значениям матрицы плотности. Динамика уравнений Шредингера такова, что любое такое разложение остается действительным (и оптимальным) во время распространения во времени, т.е. вы можете просто распространять каждое отдельное чистое состояние.

Последнее предложение этого прагматичного объяснения предполагает, что$\langle\psi_i(t)|\psi_j(t)\rangle=\langle\psi_i(t_0)|\psi_j(t_0)\rangle$сохраняется при распространении во времени, что справедливо для «замкнутых» систем.

Что-нибудь, связанное с запутанностью или любыми другими свойствами? Изменяются ли они в зависимости от природы состояний, таких как чистое или смешанное?

Как указывали другие, запутанное состояние также является чистым состоянием. Если вы вычисляете частичную трассировку запутанного состояния, вы получаете смешанное состояние, но на самом деле это не связано с собственным разложением. Но это тем не менее интересное наблюдение, потому что оптимальное когерентное разложение для соответствующей подсистемы в общем случае не будет сохраняться при распространении во времени, и, следовательно, может быть некоторый квантовый скачок с точки зрения подсистемы с точки зрения оптимального когерентного разложение. Но оптимальное когерентное разложение единственно, только если$p_i> p_j \geq 0$для$i < j$в любом случае.