Теплоемкость из-за фононных колебаний

Точнее, скорость звука появляется в выражении Дебая для удельной теплоемкости кристаллического твердого тела. Причина в том, что в теории Дебая точное выражение для внутренней энергии гармонического тела:

$$E = \int D(\omega)\frac{\hbar \omega}{e^{\beta \hbar \omega}-1} {\text d}\omega$$ где$\beta=1/k_BT$и$D(\omega)$есть фононная плотность состояний, может быть аппроксимирована при достаточно низких температурах, используя в качестве плотности состояний только плотность состояний акустических ветвей. Поскольку дисперсия на акустической ветви определяется выражением $$\omega({\bf k})= c_s^{(i)}\left| {\bf k} \right|,$$ где$c_s^{(i)}$- скорость звука в направлении, определяемом этой акустической ветвью, результирующая плотность состояний зависит от скорости звука.