Как восстановить единицы?

Это хороший вопрос - как в примере с$L,\lambda$вы предоставляете, не каждое масштабирование и не каждый набор констант допустимы.

Рецепт набора хороших естественных единиц следующий: возьмите все единицы, которые появляются в вашей теории, и создайте пространство с одним измерением для каждой из них. Скажем, у нас есть теория со временем, длиной и энергией — тогда у нас есть трехмерное пространство. Затем вы можете классифицировать количество единиц$[ \rm length^2 \cdot time]$как вектор в этом пространстве$(2,1,0)$, вы берете мощность как длину вектора в соответствующем направлении. Теперь рассмотрим такое утверждение: каждый набор констант, определяющих набор безразмерных единиц, должен составлять основу этого пространства. В этом случае мы, вероятно, выберем$[c]=[\rm m\cdot s^{-1}] \to (1,-1,0)$,$[\hbar]=[\rm J\cdot s] \to (0,1,1)$и конкретная единица времени, это может быть даже секунда$[1 \rm s]=[ \rm s] \to (1,0,0)$.

Почему линейно независимые? Потому что тогда, когда мы получим безразмерный результат, который следует сказать$\rm[m]\to (0,1,0)$, есть единственный способ составить этот вектор из базиса - это очень основное свойство базиса. Но вместо сложения и вычитания векторов мы умножаем и делим. например, чтобы получить$(0,1,0)$мы должны вычесть$(1,-1,0)$и добавить$(1,0,0)$, поэтому ваш результат будет умножен на$1 \,{\rm s}/c$.

Может быть, это слишком абстрактно, но подумайте об этом - вы наверняка знаете, что две константы длины размерности не являются линейно независимыми в этом смысле. Таким образом, вы не можете использовать их. И т. д. Вы просто должны быть осторожны, чтобы не ввести вырождение этого типа, но в остальном у вас все в порядке. Дело в том, что, как это ни удивительно, соответствующие физические константы, по-видимому, не имеют такого рода вырождения! Это интересный факт — кажется, что существует только один фундаментальный слой взаимодействия, реальных фундаментальных «вторых масштабов» в физике вроде бы нет .

«Ной!», сказал Господь, «построй мне ковчег длиной 300 локтей (137,16 м, 450 футов), шириной 50 локтей (22,86 м, 75 футов) и высотой 30 локтей (13,716 м, 45 футов). Сколько кубических локтей объема ваш ковчег?Сколько квадратных локтей древесины нужно вашему ковчегу снаружи?Посчитайте с умом, прежде чем заказывать древесину на местном складе, и убедитесь, что вы не переплачиваете, владелец - гониф и будет воровать ваш шекель, взимая с вас плату за ноги!»

Я полагаю, это по линии вопроса, верно? То же самое соотношение между футами и локтями появится трижды, один раз в степени один, два и три. Так как же нам убедиться, что мы не теряем это из виду? Сохраняя единицу длины в уравнении. 300 локтей x 50 локтей x 30 локтей - это 450 000 локтей. Ответ 450 000 неверен. Точно так же, если мы вычисляем с$\bar{h}$и с, даже если$\bar{h}=c=1$, ответ должен быть дан как$1\bar{h}c$а не 1! В этом случае мы можем вставить любые другие преобразования единиц измерения, которые нам нужны, используя значения$\bar{h}$и c в ответ и получить правильное числовое значение в этих новых единицах.