Короткий ответ: может, если$M = 1 = M^{-1}$. С этой точки зрения все количества в планковских единицах являются чистыми числами.

---

Более длинный ответ заключается в том, что есть два разных способа думать о системах естественных единиц.

Системы натуральных единиц в стандартных единицах

Один из них, и, возможно, самый простой для понимания, заключается в том, что вы все еще работаете в «традиционной» системе единиц, в которой существуют отдельные единицы для всех величин, но единицы выбираются таким образом, что числовые значения некоторых констант равны. на 1. Например, если вы хотите установить$c = 1$, вы не буквально устанавливаете$c = 1$, вы на самом деле устанавливаете$c = 1\,\frac{\text{length unit}}{\text{time unit}}$. Длина и время на самом деле не имеют одних и тех же единиц измерения в этой интерпретации; они эквивалентны с точностью до умножения на множители$c$. Другими словами, понятно, что для преобразования, скажем, единицы времени в единицу длины вы умножаете на$c$, и поэтому это остается неявным.

Чтобы сделать это, конечно, вы должны выбрать единицы длины и единицы времени, которые совместимы с этим уравнением. Таким образом, вы не можете использовать метры в качестве единицы длины и секунды в качестве единицы времени, но вы можете использовать световые секунды и секунды соответственно.

Если вы хотите установить для нескольких констант числовые значения, равные 1, это еще больше ограничивает ваш возможный выбор единиц измерения. Например, предположим, что вы устанавливаете$c$и$G$чтобы иметь числовые значения 1. Это означает, что ваши единицы должны удовлетворять обоим ограничениям

$$\begin{align} c &= \frac{\text{length unit}}{\text{time unit}} = \frac{\ell_G}{t_G} & G &= \frac{(\text{length unit})^3}{(\text{mass unit})(\text{time unit})^2} = \frac{\ell_G^3}{m_Gt_G^2} \end{align}$$

где я представил$\ell_G$,$t_G$, и$m_G$для обозначения длины, времени и массы в этой системе соответственно. Затем вы можете инвертировать эти уравнения, чтобы решить для$\ell_G$,$t_G$, и$m_G$с точки зрения$c$и$G$- но, как вы, наверное, понимаете, система уравнений недоопределена. Это по-прежнему дает вам свободу выбора одного юнита, который будет частью вашей системы юнитов, например,

$$\text{kilogram} = \text{mass unit} = m_G$$

Сделав этот выбор, теперь вы можете решить для$m_G$,$\ell_G$, и$t_G$с точки зрения$c$,$G$, и$\text{kilogram}$(или любой другой выбор, который вы могли сделать; каждый выбор дает вам другую систему единиц).

Пробежавшись по математике для этого, вы получите

$$\begin{align} m_G &= 1\text{ kg} & \ell_G &= \frac{G (1\text{ kg})}{c^2} & t_G &= \frac{\ell_G}{c} = \frac{G (1\text{ kg})}{c^3} \end{align}$$

Теперь вы можете подставлять значения$G$и$c$в, скажем, единицах СИ, и получить преобразования из СИ (или любой другой) в эту систему единиц. Обратите внимание, что, как я уже сказал, длина не имеет буквально тех же единиц, что и время или масса, но вы можете преобразовать единицу длины, единицу времени и единицу массы, умножив их на коэффициенты$G$и$c$, константы, которые имеют числовые значения 1. В некотором смысле, вы можете рассмотреть это умножение на$G^ic^j$как аналог калибровочного преобразования, т.е. преобразования, которое не влияет на численное значение величины, и единицы длины, времени и массы отображаются друг в друга этим преобразованием так же, как калибровочно-эквивалентные состояния отображаются на друг к другу калибровочным преобразованием в КТП. Так правильнее сказать$L \sim T \sim M$; размеры не равны , просто эквивалентны при некотором преобразовании.

Если вы делаете то же самое, но устанавливаете$c = \hbar = 1$вместо этого помните, что на самом деле вы указываете, что ваши единицы должны удовлетворять ограничениям

$$\begin{align} c &= \frac{\text{length unit}}{\text{time unit}} = \frac{\ell_Q}{t_Q} & \hbar &= \frac{(\text{length unit})^2(\text{mass unit})}{(\text{time unit})} = \frac{\ell_Q^2m_Q}{t_Q} \end{align}$$

($Q$означает «квант», потому что это типичные единицы QFT), а затем снова прогоняем математику с$m_Q = 1\text{ kg}$, Вы получаете

$$\begin{align} m_Q &= 1\text{ kg} & \ell_Q &= \frac{\hbar}{(1\text{ kg})c} & t_Q &= \frac{\ell_Q}{c} = \frac{\hbar}{(1\text{ kg})c^2} \end{align}$$

Опять же, единицы не являются буквально идентичными, но$\ell_Q \sim t_Q \sim m_Q^{-1}$при умножении на множители$\hbar$и$c$.

Конечно, ваше третье ограничение не обязательно должно быть выбором одной из основных единиц. Вы также можете выбрать третью физическую константу, имеющую числовое значение 1. Например, чтобы получить планковские единицы, вы должны указать

$$\begin{align} c &= \frac{\text{length unit}}{\text{time unit}} = \frac{\ell_P}{t_P} \\ \hbar &= \frac{(\text{length unit})^2(\text{mass unit})}{(\text{time unit})} = \frac{\ell_P^2m_P}{t_P} \\ G &= \frac{(\text{length unit})^3}{(\text{mass unit})(\text{time unit})^2} = \frac{\ell_P^3}{m_Pt_P^2} \end{align}$$

Вы можете сказать, что это уже не недоопределенная система уравнений. Решение дает вам

$$\begin{align} m_P &= \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} & \ell_P &= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} & t_P &= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \end{align}$$

Здесь, поскольку вы присвоили трем константам числовые значения 1, ваши три фундаментальные планковские единицы будут эквивалентны с точностью до умножения на множители этих трех констант,$G$,$\hbar$, и$c$. Другими словами, умножение на любой множитель вида$G^i\hbar^jc^k$эквивалентно калибровочному преобразованию, о котором я упоминал ранее. Можно сказать, что все эти единицы эквивалентны при таком преобразовании, но более того, эквивалентны все их мощности! В частности, вы можете конвертировать между$M$и$M^{-1}$путем умножения на константы, числовое значение которых в этой системе единиц равно 1, и поэтому не проблема, что$M \sim M^{-1}$здесь.

Системы единиц как векторные пространства

Другой способ понимания систем единиц, который является своего рода логическим продолжением предыдущего раздела, состоит в том, чтобы думать о них как о векторном пространстве. Элементы этого векторного пространства соответствуют размерностям величин, а базисные векторы могут быть выбраны так, чтобы они соответствовали фундаментальным измерениям.$L$,$T$, и$M$. (Конечно, с тем же успехом вы могли бы выбрать и другой базис, но этот подходит для моих целей.) Вы можете представить

$$\begin{align} L &\leftrightarrow (1,0,0) & T &\leftrightarrow (0,1,0) & M &\leftrightarrow (0,0,1) \end{align}$$

Сложение векторов соответствует умножению соответствующих размерностей. Производные размеры соответствуют другим векторам, например

$$\begin{align} [c] = LT^{-1} &\leftrightarrow (1,-1,0) \\ [G] = L^3M^{-1}T^{-2} &\leftrightarrow (3,-2,-1) \\ [\hbar] = L^2MT^{-1} &\leftrightarrow (2,-1,1) \end{align}$$

С этой точки зрения установка константы в числовое значение 1 соответствует проецированию векторного пространства на подпространство, ортогональное вектору, соответствующему этой константе. Например, если вы хотите установить$c = 1$, вы проецируете 3D-векторное пространство на 2D-пространство, ортогональное$(1,-1,0)$. Любые два вектора в исходном пространстве, отличающиеся кратно$(1,-1,0)$соответствуют одной и той же точке в подпространстве — точно так же, как в предыдущем разделе любые два измерения, которые можно преобразовать друг в друга, умножая на множители$c$можно считать равноценными. Но с этой точки зрения вы можете думать, что два измерения становятся одним и тем же , так что, например, длина и время фактически измеряются в одних и тех же единицах измерения.

Поскольку в планковских единицах вы устанавливаете для трех констант числовое значение, равное единице, на картинке «размеры как векторное пространство» вам нужно выполнить три проекции, чтобы перейти к планковским единицам. Выполнение трех проекций в 3D-векторном пространстве оставляет вас с 0D-векторным пространством — все пространство было уменьшено до точки. Все единицы сопоставляются с этой одной точкой и являются одинаковыми. Итак, снова$M$и$M^{-1}$идентичны, и нет никакого конфликта.

1. Если$t = c$, затем,$r = \frac{t}{2}$или$\frac{c}{2} = \rm radius$.

2. В процессе нормализации, как правило, используют следующее:

   (я)$G = 1$.

   (ii)$c = 1$в планковское время.

   (iii)$h = 1$.

   (4)$m = 1 = \rm Planck\ mass$.

3. (i) На этом основании радиус Шварцшильда =$2.1.1/1.1 = 2$единицы чего?

   ii) местные$g=c$радиус$\left(\frac{1.1}{1}\right)^{0.5} = 1 = r$?

   (iii) Локальная длина волны Комптона =$\frac{h}{cm} = \frac{1}{1.1} = 1 = 2r$?

4. Единственный работоспособный процесс нормализации, о котором я могу думать, это:

   (я)$c = 2 =2r = \rm diameter$.

   (ii)$G = 2$.

   (iii)$h = c^2 = 2^2 = mc^2 = 4$.

   (4)$m = 1 =\rm Planck\ mass$.

   (v) Тогда${\rm Schwarzschild\ radius} = 1\ {\rm or}\ c/2$.

   (vi)$t = {\rm time} = 1 =\rm Planck\ time$.

5. Длина волны Комптона, или длина, играет в физике еще одну роль: она становится поверхностью g любой поверхности Шварцшильда в планковских единицах времени.

В формуле коэффициента двойки Эйнштейна$2GM\over Rc^2$, эквивалентна формуле

$gt^2\over 2$= расстояние, где$t$= местное время.

В состоянии Шварцшильда местное$g$равно$c$где мы делаем локальный диаметр локальным$c$. Так местный$g = c = 2$.

Итак, используя приведенное выше обоснование и нормализацию:

Если световой луч пересекает скользящее падение и проходит расстояние r, то

${gt^2\over{2}} = \frac{2.1}{2.(2)^2} = 1/4$радиуса. То есть свет проходит один радиус, поэтому проходит половину планковской единицы времени,$(1/2)^2 = 1/4$. Это будет эффект на любой световой луч при скользящем падении на любую поверхность Шварцшильда.

Если частица, летящая на$c/(2)^{0.5}$пересек пастбище, которое потребовалось бы$(2)^{0.5}$планковских единицах времени, то формула дала бы$r/2$который выведет его на орбиту вокруг окружности Шварцшильда. Это все теоретически, но это работает как упражнение по пропорциональности при сравнении с более крупными сферами.

Дело в том, что это попытка связать гравитацию с планковскими единицами, поэтому было бы полезно, если бы мы смогли доказать, что гравитационные функции будут работать так же гладко, как и все остальное.