Как выразить энергию в натуральных единицах

Если вы установите$\hbar = c = G = 1$тогда любую физическую величину можно объявить эквивалентной любой другой физической величине, и вы можете преобразовать выражение, говорящее, что это так в любой другой системе единиц, например, в единицах СИ, подставив правильные коэффициенты, включающие$\hbar$,$c$, и$G$. Это проще всего сделать, построив величины с измерениями длины, времени и массы, используя$\hbar$,$c$, и$G$, эти выражения известны как планковская длина, планковское время и планковская масса, подробности см. здесь .

Тогда дано уравнение в$\hbar = c = G = 1$единицы, вы можете затем найти правильный эквивалент единиц СИ, разделив все переменные в уравнении на планковскую единицу переменной и умножив конечный результат на планковскую единицу желаемой физической величины. Потому что вы начинаете с$\hbar = c = G = 1$, вы ничего не меняете в уравнении, но, поскольку теперь оно также правильно размерно в единицах СИ, это правильное уравнение СИ, когда вы подставляете значения СИ для$\hbar$,$c$, и$G$.

Например, если вы приравниваете массу$M$до длины$L$в$\hbar = c = G = 1$единицы измерения:

$$M = L$$

то мы можем вводить произвольные степени$\hbar$,$c$, и$G$потому что они в любом случае равны 1. Затем мы можем разделить левую часть на массу Планка, а правую часть на длину Планка, это дает:

$$M \sqrt{\frac{G}{\hbar c}} = L\sqrt{\frac{c^3}{\hbar G}}$$

Мы можем записать это как:

$$L=\frac{M G}{c^2}$$

что является правильным размером в единицах СИ.

Вы можете играть в эту игру с любым произвольным выражением, например

$$M^3 \exp(M/L) = L^5$$

может быть практически без усилий преобразован в правильное по размерам выражение СИ (я оставляю это как упражнение для ОП).

Вы вольны выбрать любую единицу для использования (в различных степенях) для выражения значений в обезразмеренных системах. Гертен предпочитает использовать секунды, более чем в нескольких вводных книгах по общей теории относительности используется длина, но в моей области (физика элементарных частиц) мы склонны использовать электрон-вольты (т.е. энергию) в качестве основы для всех измерений.

В этом случае энергия выражается как энергия. Как и масса. И длина, и время выражаются как обратная энергия (вы можете получить это из уравнения, которое вы рассматриваете, а затем отметив, что скорость должна быть безразмерной).

Прежде всего, радианы безразмерны, поэтому вам не следует писать:$\omega[rad\ s^{-1}]$.

Размерный анализ

Единицы энергии в натуральных единицах измерения энергии$s^{-1}$. Это имеет смысл, поскольку$E=\omega$.

Единицы расстояния в натуральных единицах равны$s$. Это имеет смысл, поскольку длина волны =$c *$время в пути. Но$c$= 1, значит, расстояние и время имеют одни и те же единицы измерения.

Некоторая интуиция за натуральными единицами

Чтобы интерпретировать эти натуральные единицы, давайте посмотрим на этот простой пример:$v = 0.5 c$, в натуральных единицах это будет$v=0.5$. Это означает, что скорость равна половине скорости света.

Сходным образом,$E=0.7 s$следует интерпретировать как: энергия в 0,7 раза$\hbar*s$

Изменить, чтобы уточнить вопрос ОП в комментариях.

Следует отметить, что мы не можем установить бесконечное количество единиц измерения равным 1, так как это приведет к серьезным несоответствиям в единицах измерения. Одним из примеров является G, который НЕ установлен в 1 в натуральных единицах.

Предположим, что G = 1. Находим, что$r_s = GM/c^2$так что$[r_s] = m = s = [M] = [E] = s^{-1}$?!

Однако если$[G] = m^3 *kg*s^2 = ms$(с$kg = [E] = 1/s$и$m=s$) находим, что$r_S = GM/c^2$так что$[r_S] = m = s = G [E] = ms*s^{-1} = m$чтобы не было проблем...

Поэтому не устанавливайте все единицы измерения равными 1. Например, G не следует устанавливать равным 1! (нижняя строка, если вы обнаружите несоответствия, вы установили для многих единиц значение 1)

Ответ на ваш 1-й вопрос заключается в том, что в натуральных единицах мы используем энергию как единственную единицу для описания других величин. Энергию можно измерять в основном в эВ, поэтому теперь мы можем использовать единицы измерения энергии в эВ для описания других величин, таких как масса, расстояние и т. д. Для справки вы можете посмотреть книгу Пескина (Введение в квантовую теорию поля).

По вашему второму вопросу.

$$0.511 M eV = (3.862*10^{-11}cm)^{-1}$$ Из этого соотношения мы можем вывести $$(1M eV)^{-1}= 1.973*10^{-13} m.$$