Когда можно сложить две величины?

Всякий раз, когда две вещи должны быть сложены вместе, обычно нужно проверить, действительно ли это имеет смысл, и говорят, что сложение имеет смысл в принципе, когда единицы совпадают.
Тем не менее, совпадающих единиц явно недостаточно:

• Оба действия (например,$\hbar$) и угловой момент$L$разделить единицы СИ$Js$.
  • Хотя от добавления таких количеств можно быстро отказаться, заявив, что$\vec{L}$является направленной величиной, и векторы и скаляры также не могут (обычно) складываться вместе.
• Параметр$c=1$, как это обычно делается в релятивистской механике, различные единицы становятся одними и теми же:
  • $\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$,$\left[\text{mass}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{momentum}\right]$,$\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{frequency}\right]$и т. д.
  • они в основном имеют смысл с$4$-векторы, признав, что, скажем, время ортогонально пространству, хотя я не видел$\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{frequency}\right]$использовал раньше.
• пойдя еще дальше, введя планковские единицы, полученные из естественных констант, все единицы станут степенями$\left[\text{length}\right]$: (сделано вручную, возможны ошибки)
  • $\left[\text{1}\right]=\left[\text{#particles}\right]=\left[\text{%}\right]=\left[\text{odds}\right]=\left[\text{velocity}\right]=\left[\text{entropy}\right]=\left[\text{action}\right]=\left[\text{angular momentum}\right]=\left[\text{charge}\right]=\left[\text{resistance}\right]$
  • $\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]=\left[\text{inductance}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]=\left[\text{momentum}\right]=\left[\text{frequency}\right]=\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{torque}\right]=\left[\text{capacitance}\right]=\left[\text{current}\right]=\left[\text{voltage}\right]=\left[\text{temperature}\right]=\left[\text{chemical potential}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-2}\right]=\left[\text{force}\right]=\left[\text{magnetic flux density}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-4}\right]=\left[\text{pressure}\right]$
  • вероятно, намного больше (которые действительно где-то используются - в принципе, конечно, таких отношений было бы бесконечно много)

Так что для многих из них я ясно понимаю, почему их нельзя последовательно сложить вместе:
некоторые из этих величин фундаментально скалярны, другие — аксиальные векторы, а третьи — полярные векторы. - в обычном векторном исчислении эти три нельзя просто сложить вместе.
Количество частиц и относительные количества также различаются тем, что они определены в разных областях; соответственно$\mathbb{N}$и$\left[0,1\right]$. Все остальные вышеуказанные величины определяются либо на$\mathbb{R}$или на$\left[0,\infty\right[$, хотя экспериментальные данные и теории, которые им соответствуют, могут дополнительно ограничивать некоторые из них, например, электрический заряд.

Таким образом, необходимые условия для правильно определенного сложения, которые я нашел до сих пор, таковы:

• соответствующие единицы
• соответствующие домены
• соответствующий размер
• сопоставление трансформационного поведения или ковариантности (? - я недостаточно хорошо разбираюсь в ОТО, чтобы знать, что это всегда проблема. Я смутно осведомлен о ко- и контравариантных тензорах и т. п., но я не могу и контрвариантный тензор из одного и того же пространства обычно можно сложить вместе.Что я не считаю, так это сложение, как это может произойти в геометрической алгебре, где вы можете иметь мультивекторы.В этом контексте я специально спрашиваю о добавление одинаковых лопастей. В этом случае тот факт, что осевые и полярные векторы не могут быть сложены вместе, становится тем фактом, что они соответствуют векторам или бивекторам.)

Хотя должно быть больше, не так ли? Насколько мне известно, приведенные выше правила не исключают, скажем, сложения емкости и температуры. Или я ошибаюсь? (т.е. предложенное выше добавление либо нарушает одно из четырех вышеприведенных условий, либо оно на самом деле имеет физический смысл в определенных ситуациях, или вы можете каким-то образом разумно думать о них как о разных компонентах общего вектора?)

Принимая во внимание все это, существует ли четкое математическое или физическое правило (или набор правил), которое полностью определяет, когда два значения действительно могут быть сложены вместе физически непротиворечивым образом? Каковы необходимые и достаточные условия?

РЕДАКТИРОВАТЬ 1: Выбор натуральных единиц

Я допустил ошибку или имел оплошность при выборе единиц измерения выше: я установил$c=\hbar=k_B=k_e=1$но забыл также установить$G=1$. Если я правильно понимаю, то$G=c=\hbar=1$подразумевает что-то довольно странное:
$\left(c=1\right)$подразумевает$\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$и$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]$
$\left(\hbar=1\right)$подразумевает$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{time}^{-1}\right]$
$\left(G=1\right)$подразумевает$\left[\text{mass}\right]=\left[\text{length}^3\text{time}^{-2}\right]$

Итак вместе:$\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{time}^{-1}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]=\left[\text{length}^3\text{time}^{-2}\right]=\left[\text{length}\right]$

Но$\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{length}\right]$может быть выполнено только в том случае, если$\left[\text{length}\right]=\left[1\right]$. Так что, если вы пойдете полностью естественно, все единицы, по сути, исчезнут.

С этим связан следующий комментарий jwimberley к ответу на другой вопрос: Что оправдывает размерный анализ?

В этом случае мой вопрос звучит так: «Быть ​​в естественной системе единиц, где$c=\hbar=G=k_e=k_B=1$, как вы можете сказать, можно ли сложить две величины вместе?». Я уже определил пару требований выше. Теперь остается сказать, достаточны ли они или есть какие-то дополнительные обязательные условия. расплывчато предложено в соответствии с приведенным выше комментарием) поместить все величины, которые явно не одинаковы, в разные компоненты большого вектора, содержащего все единицы отдельно (а также копии единиц, когда они существуют, например, три отдельные пространственные координаты) , при условии, что домены всех включенных объектов совпадают (все они должны быть определены, каждый в отдельности, на всей совокупности$\mathbb{R}$или что подойдет). Я не вижу причин, по которым это не сработает, но в то же время я не уверен, действительно ли это будет хорошим решением. Но как иначе отслеживать все эти типы значений, если все их соответствующие единицы измерения просто$1$? Есть довольно веские причины, почему мы$4$-векторы. Можно ли сделать аналогичный случай для больших векторов, или базовая структура, соединяющая разные единицы, не будет работать с этим? И насколько большим должен быть этот вектор? - Например, как уже упоминалось,$c=1$подразумевает$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]$согласно$E^2=m^2c^4+p^2c^2$, поэтому вам, вероятно, не понадобятся отдельные записи для энергии и массы, но вам понадобятся три дополнительных записи для импульса, потому что это направленная величина.

Я задаю здесь много дополнительных вопросов, но на самом деле все они просто последствия вопроса, когда (не) добавлять две вещи. Не стесняйтесь игнорировать эти дополнения, пока есть ответ на исходный вопрос.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Относительно потенциальных дубликатов (продолжение$G\neq 1$)

Несмотря на то, что мой вопрос связан с этим, он немного отличается от того, что оправдывает размерный анализ? : я не спрашиваю о прямом добавлении чего-то вроде "$5m+10s$» — это явно undefined. Однако добавить их можно с помощью 4-вектора:$10\vec{X} = s \ \vec{e}_0 + \left( 3 m \ \vec{e}_2 + 4 m \ \vec{e}_3 \right) = \left(\begin{matrix} 10s & 0m & 3m & 4m\end{matrix}\right)$или, используя одни и те же единицы измерения,$\vec{X}=\left(\begin{matrix} 2997924580 & 0 & 3 & 4\end{matrix}\right)m$. - не то, чтобы этот выбор единиц был особенно разумным для таких значений.
Этот вектор имеет пространственную часть$\vec{x}=\left( 3 m \ \vec{e}_2 + 4 m \ \vec{e}_3 \right), \left|x\right| =5m$и временная часть$t=2997924580m=10s$и, если я не ошибаюсь (а вполне могу ошибаться), учитывая, что вектор имеет метрику Минковского, имеет "длину"$\left|\vec{X}\right|=5 \sqrt{359502071494727055}m \approx 10s$. (эти 5 м не имеют значения)

В рамках специальной теории относительности есть и другие величины, допускающие такую ​​форму. Например, 4-вектор энергии-импульса или электромагнитное поле.

Хотя, как упоминалось,$c=1$предполагает большее количество соответствий. Например, существует ли вектор частоты-ускорения-4? - Конечно, 4-ускорение есть, но временная его часть - это какая-то частота, как подсказывает блок?

Конечно, самый простой ответ, глядя только на ньютоновскую механику, которая (насколько мне известно) для проблем в$\mathbb{R}^3$, строго ограничен 3-векторами и скалярами, было бы, что даже$\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$держит. Однако мы (то есть физики прошлого века+) установили к настоящему времени довольно четкое соответствие между пространством и временем, которое имеет как физический, так и математический смысл, приняв$c$как естественная единица.

А другие натуральные единицы предполагают еще больше таких соответствий. Мой вопрос таков: действительно ли все эти соответствия в чем-то физически подобны 4-векторам в СТО? (Являются ли даже все те, которые предложены$c=1$только разумное в рамках физической интуиции? - по крайней мере, приличная часть из них, по-видимому, есть.) А если нет, то что именно пошло не так? (Потому что у них есть совпадающие единицы, поскольку речь идет о натуральных единицах).
Или, короче говоря, что можно и что нельзя складывать вместе при каких обстоятельствах?

Теперь принятый ответ на вопрос, указанный выше, https://physics.stackexchange.com/a/98257/16568 , может быть довольно близок к частичному ответу:

Физика не зависит от нашего выбора единиц

но, насколько я понимаю, это исключает только то, что вы можете добавлять количества с разными единицами измерения в одном и том же пространстве. Этого снова избегают в SR, переходя на 4-векторы, если я правильно понимаю.

Наконец, фундаментальный вопрос о многомерном анализе был задан как еще один потенциальный дубликат или, по крайней мере, что-то, что могло бы помочь. Хотя, как уже было сказано, мне ясно, почему более сложные функции, чем произведения или суммы, не будут иметь смысла при любом количестве с единицами.
Я знаю, что произведения и целые степени — единственные функции, которые не заботятся о единицах измерения (они будут работать, несмотря ни на что), а линейные комбинации будут работать, если все термины имеют одну и ту же единицу измерения.