Почему действие безразмерно в натуральных единицах?

Он безразмерен в смысле массовой размерности .

Параметр$\hbar = c = 1$означает, что нам нужно зафиксировать только одну базовую единицу, которая обычно принимается за энергию, измеренную в$\mathrm{eV}$. Теперь, так как$c=1$, это означает, что из-за$E=mc^2$становится$E=m$оба$E$и$m$измеряются в$\mathrm{eV}$. Они могут представлять разные измерения (массу и энергию), но измеряются в одних и тех же единицах . Сейчас,$E=h\nu$означает, что обратное время измеряется в$\mathrm{eV}$, поэтому время измеряется в$\mathrm{eV^{-1}}$. И так далее.

Итак, «массовое измерение» количества — это просто мощность$\mathrm{eV}$оно измеряется в. Поскольку действие представляет собой интеграл энергии от времени, оно имеет единицы$\mathrm{eV}\cdot\mathrm{eV}^{-1} = \mathrm{eV}^0$, т.е. имеет нулевую массовую размерность.

Вы правы в том, что он не "безразмерный". Но наличие нулевой размерности массы означает, что для любой величины$Q$что есть полномочия$\hbar$и$c$такой, что$\frac{Q}{\hbar^n c^m}$ безразмерна, а так как$\hbar = c = 1$,$\frac{Q}{\hbar^n c^m} = Q$, поэтому между этими величинами нет численной разницы, и можно небрежно сказать, что$Q$является безразмерным.

Если вы несколько обеспокоены тем, что$\frac{Q}{\hbar^n c^m} = Q$"выглядит неправильно" с точки зрения размерного анализа, то да, правильно - удобство в формулах, которые мы получаем из$\hbar = c = 1$неизбежно приходит с потерей значительной части размерного анализа, для этого остается только измерение массы.

Чтобы ответить на ваш второй вопрос:

Есть ли какая-то особая причина для того, чтобы действие было безразмерным? Просто ли мы хотим, чтобы его числовое значение не зависело ни от какой системы единиц?

на это есть несколько причин. Один из них заключается в том, что мы не хотим беспокоиться об отслеживании$\hbar$и$c$повсюду, так как они могут накапливаться довольно быстро. Еще одна, более фундаментальная причина заключается в том, что многие физические явления зависят от масштаба. В естественной системе единиц длина измеряется в тех же единицах, что и обратная энергия, поэтому рассматривать явление в разных масштабах — то же самое, что рассматривать его при разных энергиях. Таким образом, измерение всего с точки зрения энергии (или массы) позволяет ясно увидеть, как теория ведет себя на разных энергетических масштабах: эта идея является одним из основных принципов метода ренормализационной группы. В квантовой электродинамике, например, масса электрона варьируется в зависимости от энергетического масштаба, с которым вы работаете: это происходит из-за того, что явления, связанные с КЭД, меняются в зависимости от энергетического масштаба проблемы.

Также обратите внимание, что вы не можете делать произвольный выбор констант, он должен быть последовательным. Например, вы не можете поставить$c=1$,$\hbar=1$а также константа связи КЭД$e=1$, потому что это сделало бы тонкую структуру постоянной$\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} = 1$, что делает электромагнитное взаимодействие намного сильнее, чем оно есть на самом деле ($\alpha = \frac{1}{137}$в атомном масштабе).

Условные обозначения, называемые натуральными единицами , можно разделить на две части:

1. Использование другого набора базовых единиц. Например, вместо использования единиц СИ$\text{kg}, \text{m}$и$\text{s}$в качестве базовых единиц для определенного подпространства единичного пространства наиболее распространенный аромат натуральных единиц использует$\hbar, c$и$\text{eV}$в качестве базовых единиц для одного и того же подпространства. Например$1\,\text{fm}$записанный в этих основных единицах, равен$\frac{\hbar c}{197\,\text{MeV}}$.

2. Не записывать некоторые или все эти базовые единицы. Например, в наиболее распространенном аромате натуральных единиц,$\hbar$и$c$не записываются. Обычно это обозначается как$\hbar=1; c=1$. можно было и не записывать$\text{eV}$.

Соглашение 1 практично, так как вы часто использовали константы в качестве основных единиц. Условие 2 избавляет вас от необходимости записывать некоторые из этих основных единиц и основывается на том факте, что вы всегда можете восстановить единицу по размерности рассматриваемой величины. Обратите внимание, что даже при использовании натуральных единиц записи$\hbar = c$технически неверно, так как незаписанные единицы измерения не совпадают.

С этой точки зрения действие не безразмерно в натуральных единицах — просто не записывают единицы, обозначающие размерность.

Дальнейшее чтение и наглая самореклама: Я написал дидактическую работу ( препринт ) на тему натуральных единиц.