Как вывести E=(3/2)kTE=(3/2)kTE=(3/2)kT?

Это следует из теоремы о равнораспределении . Теорема о равнораспределении утверждает, что в тепловом равновесии средняя энергия каждой степени свободы (каждого независимого способа движения системы) равна$k_B T/2$, где$T$это температура и$k_B$(или просто$k$) называется постоянной Больцмана . Есть три независимых направления, в которых может двигаться частица газа (три независимых компонента скорости), поэтому полная кинетическая энергия равна$3\times k_B T/2$. Важно понимать, что это статистическая формула, которая в среднем верна только для большого числа частиц, находящихся в равновесии: на самом деле каждая отдельная частица может иметь кинетическую энергию, отличную от этой. Постоянная Больцмана обеспечивает связь между микроскопическим и макроскопическим мирами, связывая типичные средние энергии микроскопических частиц с энергиями, необходимыми для изменения температуры макроскопической массы на измеримую величину.

Приведенное выше уравнение определяет среднюю кинетическую энергию газовой частицы при данной температуре. k известен как постоянная Больцмана,$k_B = 1.3806503 \times 10^{-23}~\mathrm{\frac{m^2kg}{s^2K}}$и равна идеальной газовой постоянной, деленной на число Авагадро,$\frac{R}{N_A}$.

Так откуда же взялось уравнение?

Краткий ответ: приведенное выше уравнение получено из закона идеального газа, а также экспериментально подтвержденного факта, что 1 моль любого газа при нормальных условиях занимает постоянный объем (измеряется как 22,4 л). Мы можем использовать это соотношение с массой данной частицы, чтобы доказать, что средняя кинетическая энергия пропорциональна только температуре газа.

Подробный ответ: на этой странице представлен подробный вывод приведенных выше формул.

Надеюсь это поможет!

Я просмотрел записи. Здесь происходит несколько вещей, некоторые из них не указаны. Мы также должны сделать некоторые предположения. Во-первых, средняя кинетическая энергия частицы, движущейся в направлении$v$является$mv^2/2$, где$m$это масса частицы. Это не так уж сложно доказать, но это уведет нас далеко в сторону.

Другое предположение состоит в том, что существует средняя энергия на частицу в газе и что эта средняя зависит от температуры. С помощью довольно сложных рассуждений можно показать, что средняя энергия, приходящаяся на одну частицу, равна$kT/2$, где$T$абсолютная температура в кельвинах и$k$постоянная, известная как постоянная Больцмана.

Тогда аргумент выглядит следующим образом: частица может двигаться в трех независимых направлениях. То есть его движение изменит его$x$,$y$, и$z$компоненты самостоятельно. Таким образом, мы должны умножить наши формулы на три, что почти дает нам формулу, приведенную выше.

Разница в том,$v^2$срок. Это определяется как сумма средних энергий в трех независимых направлениях,$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$. Поскольку все направления эквивалентны и независимы, мы предполагаем, что каждый из них вносит одинаковый вклад в сумму. Таким образом$v^2 = 3v_x^2$, где я выбрал$v_x$для удобства я мог бы использовать любой из$v$с.

Соединяя все биты вместе, мы получаем приведенную выше формулу.

Мы можем использовать уравнение идеального газа и уравнение адиабатического процесса, чтобы решить это. (Мы используем адиабатический, так как работа, которую мы совершаем над газом, не передается термически в адиабатическом процессе, поэтому все идет на внутреннюю энергию).

Обычно мы находим работу для газов с

Теперь мы вводим закон уравнения идеального газа,

Теперь подставим это в наше уравнение энергии,

Это следует из статистической механики. Я не уверен в вашем прошлом, но я опубликую вывод, который знаю. Если вам нужно расшириться, выберите одну книгу по статистической механике, например «Основы статистической и тепловой физики» Райфа.

Чтобы быть точным, вся идея такова: рассматривая классическое фазовое пространство$M$наделить его функцией плотности вероятности$\rho : M\to \mathbb{R}$. Эта плотность вероятности непонятна именно так, как вы могли бы подумать:

- вероятность того, что система находится в микросостоянии, содержащемся в области положения и импульса$A$.

Тогда возникает вопрос, на который пытаются ответить: учитывая, что система находится в тепловом равновесии при температуре$T$, что$\rho$?

Ответ, вывод которого можно найти в книге Рейфа, таков (учитывая$M = \mathbb{R}^{6N}$существование$N$количество частиц)

с$p = (p_1,\dots,p_N)$импульсы частиц,$q = (q_1,\dots,q_N)$их координаты,$H$гамильтониан системы,$\beta = (k_B T)^{-1}$и$Z$являющийся коэффициентом нормализации, называемым «статистической суммой», заданной выражением

Заметьте также, что$p_i = (p_{ix},p_{iy},p_{iz})$и$q_i=(q_{ix},q_{iy},q_{iz})$.

Что такое энергия? Энергия – это среднее значение$H$, учитывая плотность вероятности$\rho$, другими словами:

но ясно, что

таким образом

Теперь подумайте о$N$свободные частицы одинаковой массы, т. е. газ. В этом случае гамильтониан определяется выражением$H(p,q) = \sum \frac{p_i^2}{2m}$- т. е. сумма их кинетических энергий. Теперь в этом случае найти$Z$просто, потому что интегралы будут факторами:

но каждый интеграл по координатам просто дает объем$V$коробки, где находятся частицы, поэтому мы имеем

три интеграла идентичны, поэтому мы вычисляем только один раз, используя хорошо известный интеграл Гаусса

Теперь вычислите$E$

Это точно$E = \dfrac{3N}{2} \beta^{-1}$или иначе

который для одной частицы дает ваш результат.

В молекулярном исследовании закрытого контейнера, во-первых, используя первое уравнение движения, мы получаем «a = Vf / t», поскольку первоначально Vi = 0. Затем мы можем ввести формулу Силы, чтобы получить F = m (vf / t). Теперь, используя второе equ, движения мы получаем "d=1/2at^2", поскольку Vi=0

Теперь введите формулу проделанной работы, чтобы иметь «W = 1/2mVf ^ 2», поскольку проделанная работа такая же, как KE, поэтому E (k, E) = 1/2mVf ^ 2, теперь используя отношение центральной массы (с точки зрения скорости ecpression ) m1V1+m2V2=(m1+m2)Vcm , где Vcm скорость центра масс двух систем тел m1 и m2 ... Поскольку мы знаем, что Импульс(P)= mV2, то имеем P1+P2=(m1 +m2)Vcm, поскольку m1=m2=m (поскольку молекулы имеют одинаковую массу), поэтому в соответствии с законом сохранения количества движения P=P1+P2 P=2mVcm мы рассматриваем только движение по оси X, поэтому мы можем написать P=2mVx AS сила равна соотношение импульса и времени
поэтому из приведенного выше соотношения мы можем сказать, что F=2mVx/t....(альфа) мы можем получить t=2L/Vx......(бета), учитывая, что молекула проходит расстояние 2L за время t со скоростью Vx.. .. Помещение (бета) в (альфа) F=mVx/2L/Vx .....=> F=mVx^2/L Теперь выражение общей средней скорости будет V^2=Vx^2+Vy^2+ Vz^2 Пусть частица имеет одинаковую скорость по всем осям, поэтому V^2=Vx^2+Vx^2+Vx^2 Или мы можем сказать V^2=3Vx^2, из этого уравнения мы можем получить Vx^2=1 /3V^2 и это уравнение для количества частиц N может быть записано как F=mNV^2/3AL .... (GaMMA) Где A - площадь силы газового баллона For Объем закрытой камеры, в которой находятся молекулы (поскольку это прямоугольная камера кубического типа), поэтому ее объем должен быть равен площади * длине, поэтому Vp = (mNV ^ 2) / 3. Где мы получили Vp из AL уравнения (GaMAA). Теперь, умножив и разделив на 2, мы получим PV = (2/3)(Н)(1/2мВ^2) .'. Поскольку KE = 1/2 мВ ^ 2, поэтому PV = (2/3) (N) K. E Мы знаем из уравнения идеального газа .'. PV=nRT nRT=(2/3)(N)KE Отсюда мы можем получить KE=3/2nRT/N. Для единицы моля газа n=1 и согласно БОЛЬЦМАНУ R/N=K, поэтому KE= (3/ 2) КТ

«3» исходит из энтропии (и тем самым$k$) в зависимости от 3 различных возможных направлений импульса, удерживающего энергию.

Может быть,$1/2$имеет какое-то отношение к среднему значению энтропии при повышении$v$от$0$к$v$. Или пытаясь получить импульс$mv$из энергии через$mv (v/2)$.

$k$является коэффициентом преобразования температуры в энергию. В частности, это наклон температуры по сравнению с тепловой энергией, удаляемой по мере перехода от$Q$энергия для$0$(или$T$к$0$).