Как я могу выразить энергетическую зависимость распределения Максвелла-Больцмана?

Вы должны принять во внимание дифференциалы. Фактическое уравнение

$$f_\text{MB}(\mathbf{v})\,\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z = n\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}e^{-mv^2/2k_BT}\,\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z.$$ Переходя к сферическим координатам, получаем $$\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z = v^2\sin\theta\,\text{d}\theta\,\text{d}\varphi\,\text{d}v.$$ Интеграция $\theta$и $\varphi$, это становится $$v^2\,\text{d}v\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,\text{d}\theta = 4\pi v^2\,\text{d}v,$$ так что у нас есть $$f_\text{MB}(v)\,\text{d}v = 4\pi n\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/2k_BT}\,\text{d}v.$$ Теперь вы можете изменить $v$к $E$. С использованием $$\text{d}E = mv\,\text{d}v = \sqrt{2mE}\,\text{d}v,$$ вы в конечном итоге получите $$f_\text{MB}(E)\,\text{d}E = 2n\left(\frac{1}{k_BT}\right)^{3/2}\sqrt{\frac{E}{\pi}}e^{-E/k_BT}\,\text{d}E.$$

Функция распределения позволяет найти некоторую вероятность путем суммирования$f_vdv$если это распределение по скоростям или$f_EdE$если это касается энергий. Одно может быть преобразовано в другое как:

$$f_v(v) dv=f_v(E) v dE,$$

с$dv=vdE$если$E$является функцией$v$

Принимая во внимание$E=\frac{mv^2}{2}$, получается:

$$f_v(v)dv=f_v(E) \sqrt{\frac{2E}{m}} dE \Rightarrow f_E (E)=f_v(E) \sqrt{\frac{2E}{m}},$$