Как я должен думать о монополях в 3 + 1D-решетке U (1) U (1) U (1) калибровочной теории?

Гамильтониан для 3+1D компакта$U(1)$Калибровочная теория на кубической решетке имеет вид

$$\begin{equation} H = J\sum_{\text{links}\ l}E^2_{l}+ g \sum_{\text{plaquettes}\ P}\cos(\Phi_P), \end{equation}$$ где оператор $E_l$- целочисленное электрическое поле, канонически сопряженное векторному потенциалу $A_l$: $[A_l,E_l]=i$. Я могу использовать либо $2\pi$-периодический векторный потенциал или электрическое поле для обозначения звеньев кубической решетки и они соответствуют двум разным основаниям гильбертова пространства теории.

Заряды в этой теории очень легко представить. В частности, они могут быть определены в базисе линии электрического поля по закону Гаусса:

$$\begin{equation} q_i = \sum_{<ij>}E_{ij} \end{equation}$$ Тогда я могу добавить $\sum_{\text{sites} \ i}q_i^2$член вышеупомянутого гамильтониана, и считать заряд возбуждением теории, живущим в узлах решетки.

Мы также знаем, что в 3+1D компактной U(1) калибровочной теории есть монополи.

Мой вопрос: как мы должны представить монополь в описании решетки?

Наивно можно подражать определению электрического заряда и использовать следующий закон Гаусса для определения монополя:

$$\begin{equation} m_{\tilde{i}\ \text{on the dual lattice}} = \sum_{\text{plaquetttes}\ P \ containing\ \tilde{i}} \Phi_P \end{equation}$$ Тогда я могу добавить $\sum_{\text{sites on the dual lattice} \ \tilde{i}}m_{\tilde i}^2$член вышеупомянутого гамильтониана, и рассматривать монополь как возбуждение теории, живущее на узлах двойственной решетки. Но кажется, что с этим предположением что-то не так, потому что всегда выполняется следующее тождество: $$\begin{equation} \sum_{\text{boundary plaquettes}\ P \ \text{of a cube}} \Phi_P = 0. \end{equation}$$ В этом можно убедиться, применив дискретную версию теоремы Стокса ( $\int_D B = \int_{\partial D} A$), $\Phi_P = \sum_{\text{links}\ l \ \text{of}\ P} a_l$, а сумма потоков по граничным плакеткам куба сводится к сумме калибровочных полей по всем звеньям куба, причем каждое калибровочное поле суммируется дважды, по одному разу по каждому знаку, и сумма обращается в нуль. Таким образом, кажется, что монополи всегда отсутствуют в теории.