Наивный вопрос о U(1)U(1)U(1) калибровочном преобразовании электромагнитного поля?

Question

Наивный вопрос о U(1)U(1)U(1) калибровочном преобразовании электромагнитного поля?

Физика
симметрия
калибровочная теория
решетчатая модель
конденсированное вещество
калибровочная инвариантность

Кай Ли

Далее для простоты положим электрический заряд $e=1$ и рассмотрим решеточную бесспиновую систему свободных электронов во внешнем постоянном магнитном поле $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ описывается гамильтонианом $H=\sum_{ij}t_{ij}c_i^\dagger c_j$ , где $t_{ij}=\left | t_{ij} \right |e^{iA_{ij}}$ с соответствующим решетчатым калибровочным полем $A_{ij}$ . Как мы знаем, преобразование $\mathbf{A}\rightarrow \mathbf{A}+\nabla\theta$ не изменяет физическое магнитное поле $\mathbf{B}$ , а индуцированное преобразование в гамильтониане имеет вид

ЧАС \to {ЧАС}^{'} "=" \sum_{я Дж} т_{я Дж}^{'} с_{я}^{†} с_{Дж}

$H\rightarrow H'=\sum_{ij}t_{ij}'c_i^\dagger c_j$ с

t_{i j}^{'} = e^{i θ_{i}} t_{i j} e^{- i θ_{j}}

$t_{ij}'=e^{i\theta_i}t_{ij}e^{-i\theta_j}$ . Теперь моя путаница:

Эти два гамильтониана $H$ и $H'$ описать ту же физику? Или они описывают одни и те же квантовые состояния ? Или какие общие физические свойства они разделяют?

я просто знаю $H$ и $H'$ имеют тот же спектр, большое спасибо.

Адам

Если сделать преобразование

c_{i}^{(†)} \to e^{- (+) i θ_{i}} c_{i}^{(†)}

$c_i^{(\dagger)}\to e^{-(+)i\theta_i}c_i^{(\dagger)}$ , ты видишь это

H^{'} \to H

$H'\to H$ , и модель действительно калибровочно инвариантна. Так что физика та же.

Кай Ли

@ Адам Да, ты прав. Но почему мы делаем это преобразование? Можно ли это вывести из базовой микроскопической модели или это просто требование калибровочного инварианта для описания той же физики?

Адам

В базовой модели это соответствует преобразованию

A_{i} (x) \to A_{i} (x) + \partial_{i} θ (x)

$A_i(x)\to A_i(x)+\partial_i \theta(x)$ и

\hat{ψ} (x) \to e^{i θ (x)} \hat{ψ} (x)

$\hat\psi(x)\to e^{i\theta(x)}\hat\psi(x)$ (возможно, с некоторыми минусами) в микроскопическом гамильтониане. Или, если вы возьмете свой решеточный гамильтониан как «фундаментальный» (как в решеточной КХД), вы можете показать, что он воспроизводит обычный непрерывный гамильтониан в пределе нулевого шага решетки. Итак, может быть, вы спрашиваете, что означает калибровочное преобразование U (1) в квантовой механике?

Шенхан Цзян

Система определяется не только своим гамильтонианом, но и своим гильбертовым пространством. Калибровочная теория U(1) может исходить из ограничения вашего гильбертова пространства.

Кай Ли

Примечания:

e^{i θ_{i} {\hat{n}}_{i}} c_{j}^{†} e^{- i θ_{i} {\hat{n}}_{i}} = δ_{i j} e^{i θ_{i}} c_{j}^{†} + (1 - δ_{i j}) c_{j}^{†}

$e^{i\theta _i \hat{n}_i}c_j^\dagger e^{-i\theta _i \hat{n}_i}=\delta _{ij}e^{i\theta _i} c_j^\dagger +(1-\delta _{ij})c_j^\dagger$ , и поэтому

H^{'} = U H U^{- 1}

$H'=UHU^{-1}$ с

U = \prod_{i} e^{i θ_{i} {\hat{n}}_{i}}

$U=\prod _ie^{i\theta _i\hat{n}_i}$ .

Кай Ли

@Shenghan Jiang Спасибо за ваш комментарий. Не могли бы вы сказать мне, каково ограничение гильбертова пространства?

Ответы (1)

Наивный вопрос о U(1)U(1)U(1) калибровочном преобразовании электромагнитного поля?

Если сделать преобразование $c_i^{(\dagger)}\to e^{-(+)i\theta_i}c_i^{(\dagger)}$ , ты видишь это $H'\to H$ , и модель действительно калибровочно инвариантна. Так что физика та же.
@ Адам Да, ты прав. Но почему мы делаем это преобразование? Можно ли это вывести из базовой микроскопической модели или это просто требование калибровочного инварианта для описания той же физики?
В базовой модели это соответствует преобразованию $A_i(x)\to A_i(x)+\partial_i \theta(x)$ и $\hat\psi(x)\to e^{i\theta(x)}\hat\psi(x)$ (возможно, с некоторыми минусами) в микроскопическом гамильтониане. Или, если вы возьмете свой решеточный гамильтониан как «фундаментальный» (как в решеточной КХД), вы можете показать, что он воспроизводит обычный непрерывный гамильтониан в пределе нулевого шага решетки. Итак, может быть, вы спрашиваете, что означает калибровочное преобразование U (1) в квантовой механике?
Система определяется не только своим гамильтонианом, но и своим гильбертовым пространством. Калибровочная теория U(1) может исходить из ограничения вашего гильбертова пространства.
Примечания: $e^{i\theta _i \hat{n}_i}c_j^\dagger e^{-i\theta _i \hat{n}_i}=\delta _{ij}e^{i\theta _i} c_j^\dagger +(1-\delta _{ij})c_j^\dagger$ , и поэтому $H'=UHU^{-1}$ с $U=\prod _ie^{i\theta _i\hat{n}_i}$ .
@Shenghan Jiang Спасибо за ваш комментарий. Не могли бы вы сказать мне, каково ограничение гильбертова пространства?

Тримок · Answer 1

Для постоянного $t_{ij}$ , преобразование можно рассматривать как простое переопределение базиса квантового состояния.

Естественным основанием для вас являются квантовые состояния. $|\psi_j \rangle = c_j^+|0\rangle$ . В этой основе у вас есть: $H|\psi_j \rangle = t_{ij}|\psi_i \rangle$ , так что это означает, что $H_{ij}=t_{ij}$ , так что мы можем написать $H = \sum H_{ij}~ c^+_i c_j$ .

Теперь мы можем решить изменить основу $|\psi' \rangle = U |\psi \rangle$ , с $U = Diag (e^{i\theta_1},e^{i\theta_2}, ....e^{i\theta_n})$ , так что $|\psi_j \rangle \to |\psi'_j \rangle = e^{i\theta_j} |\psi_j \rangle$ . Матрица $U$ является унитарным и переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис.

В этом новом базисе гамильтониан просто $H' = U H U^{-1}$ , или выражая элементы оператора $H'$ , мы получаем : $H'_{ij} = e^{i\theta_i} H_{ij}e^{-i\theta_j}$

Как вы знаете, умножение квантового базисного состояния $|\psi_j \rangle$ по единичной фазе $e^{i\theta_j}$ не меняет физического состояния (которое $|\psi_j \rangle \langle|\psi_j|$ ), поэтому физика, описанная $H$ и $H'$ то же самое, собственные значения $E_k$ из $H$ и $H'$ одинаковые и тд...

@ Trimok Спасибо за ваш комментарий. Кстати, я думаю, что только глобальная фаза нефизична, а относительная фаза (вот локальная $U(1)$ преобразование) является физическим.
Честно говоря, я рассматриваю в своем ответе только глобальные преобразования (с константами $t_{ij}$ ), поэтому я понимаю, что это не отвечает на вопрос... Местный $U(1)$ инвариантность на самом деле не является «физической». $U(1)$ инвариантность электромагнитного поля — это математическая избыточность, а не истинная симметрия. Это означает, что мы пересчитываем общее количество состояний, то есть одно физическое состояние представлено многими математическими состояниями, и необходимо уменьшить это число, чтобы оставить только одного представителя для одного физического состояния.

Наивный вопрос о U(1)U(1)U(1) калибровочном преобразовании электромагнитного поля?

Кай Ли

Адам

Кай Ли

Адам

Шенхан Цзян

Кай Ли

Кай Ли

Ответы (1)

Тримок

Кай Ли

Тримок

Хорошо ли определены операторы симметрии в контексте группы проективной симметрии (PSG)?

Инвариантность меры функциональной интеграции

Две загадки о группе проективной симметрии (PSG)?

Можно ли измерить глобальную симметрию, не делая ее локальной?

Когда калибровочные теории защищают бесщелевые возбуждения?

Как обосновать взаимодействие материи и поля для некалибровочно-инвариантного гамильтониана?

Локальные и глобальные симметрии

Имеет ли спроецированное спиновое состояние гамильтониана среднего поля d+idd+idd+id на треугольной решетке симметрию обращения времени (TR)?

Примеры «оценки глобальной симметрии»

Двойственность Пескина в XY-модели (двойственность Мандельштама-т-Хоофта в абелевых решетчатых моделях)