Двойственность Пескина в XY-модели (двойственность Мандельштама-т-Хоофта в абелевых решетчатых моделях)

Я думаю, что проще представить эти уравнения по аналогии с теорией поля:

Первоначально,$\theta_n$варьируется от$0$к$2 \pi$и$m_{n \mu} \in \mathbb{Z}$. Однако из-за «калибровочной симметрии» можно выполнять калибровочное преобразование до тех пор, пока$\partial_{\mu} m_{\mu}=0$(калибровка Лоренца), а некоторые степени свободы перемещаются из$m_{\mu}$к$\theta$в то же время, чтобы$\theta \in \mathbb{R}$(это обратный дух того, как степень свободы передается от поля материи к калибровочному полю в механизме Хигга). После этого в интеграле по путям фактически присутствует неявное калибровочное ограничение, фиксирующее$\delta(\partial_{\mu} m_{\mu})$.

По определению,$M=\nabla \times m \implies \nabla \cdot M=0$. Когда одно изменение$\sum_m \rightarrow \sum_M$, это все равно что заменить суммирование по калибровочному потенциалу на суммирование по магнитным полям. Все конфигурации магнитного поля автоматически калибровочно-инвариантны, так что о фиксации калибра можно забыть. Однако цена, которую приходится платить, заключается в том, что магнитное поле (определенное таким образом) должно быть автоматически недивергентным, то есть подчиняться ограничению$\nabla \cdot M=0$.