Понять теорему Элицура из простого рассуждения Полякова?

Я читал первую главу книги Полякова «Калибровочные поля и струны» и не мог понять невнятного аргумента, который он приводит, чтобы объяснить, почему в системах с дискретной калибровочной симметрией только калибровочно-инвариантные величины могут иметь конечное математическое ожидание. Это известно как теорема Элицура (справедливая для непрерывной калибровочной симметрии).

Поляков говорит: [...] в таких системах не может быть параметра порядка (в дискретной калибровочно-инвариантной системе) [...], отличны от нуля только калибровочно-инвариантные величины. Это следует из того, что, фиксируя значения о Икс , α на границе нашей системы мы не нарушаем калибровочную инвариантность внутри нее.

Здесь о Икс , α являются «спиновыми» переменными, украшающими звенья Z 2 Калибровочная теория решетки. Я хотел бы понять последнее предложение этого утверждения. Может ли кто-нибудь пояснить, что он имеет в виду и почему это не подразумевает нарушения калибровочной симметрии?

Ответы (2)

1) Калибровочная теория — это теория, в которой мы используем более одной метки для обозначения одного и того же квантового состояния.

2) Калибровочная «симметрия» не является симметрией и никогда не может быть нарушена.

Это понятие калибровочной теории весьма нетрадиционно, но верно.

Когда два разных квантовых состояния | а ⟩ а также | б ⟩ (т.е. ⟨ а | б ⟩ знак равно 0 ) обладают одинаковыми свойствами, мы говорим, что существует симметрия между | а ⟩ а также | б ⟩ . Если мы используем два разных ярлыка « а " а также " б ” чтобы пометить одно и то же состояние, | а ⟩ знак равно | б ⟩ , тогда | а ⟩ а также | б ⟩ явно обладают (или имеют) одинаковыми свойствами. В этом случае говорят, что существует калибровочная «симметрия» между | а ⟩ а также | б ⟩ , а теория о | а ⟩ а также | б ⟩ является калибровочной теорией (по крайней мере, формально). В качестве | а ⟩ а также | б ⟩ , будучи одним и тем же состоянием, всегда имеют (или имеют) одни и те же свойства, калибровочная «симметрия» по определению никогда не может быть нарушена.

Обычно, когда одна и та же «вещь» обладает одинаковыми свойствами, мы не говорим о наличии симметрии. Таким образом, термины «калибровочная симметрия» и «нарушение калибровочной симметрии» являются двумя наиболее вводящими в заблуждение терминами в теоретической физике. В идеале мы не должны использовать эти два сбивающих с толку термина. Мы должны сказать, что существует калибровочная структура (вместо калибровочной «симметрии»), когда мы используем много меток для обозначения одного и того же состояния. Когда мы меняем нашу схему разметки, мы должны говорить, что происходит изменение калибровочной структуры (вместо «нарушения калибровочной симметрии»).

Спасибо за ваши комментарии, профессор Вен. Итак, если не существует такой вещи, как калибровочная «симметрия», то спрашивать, можете ли вы нарушить калибровочную симметрию, не имеет никакого смысла. Однако я думаю, что вопрос, который я задаю, т.е. «Как из простого рассуждения Полякова можно понять теорему Элицура?» по-прежнему правомерно. Другими словами, почему аргумент Полякова подразумевает, что у операторов, не являющихся калибровочно-инвариантными, не может быть конечного среднего значения?
@VanillaSpinIce Потому что ожидаемые значения оператора, который не является калибровочно-инвариантным, будут соответствовать «имени», которое мы используем для обозначения состояния. Как подчеркнул профессор Вэнь, имя не является физической наблюдаемой, все имена эквивалентны в калибровочной теории. Любое ожидаемое значение такого оператора будет выделять одно имя среди других, что недопустимо.
@ Эверетт Вы: Понятно. Таким образом, после 1) и 2) утверждений, приведенных выше, это имеет смысл. Хорошо, но почему эти утверждения верны? Действительно ли это следствие теоремы Элицура? В моем понимании есть пробел (насколько я понимаю, кажется, что в этом аргументе есть что-то замкнутое).
@ Everett You: Я также до сих пор не уверен, почему аргумент Полякова (и только аргумент Полякова) не подразумевает конечного ожидания зависимых от калибровки величин для решетки Z 2 Калибровочная теория.
@EverettYou Мне кажется совершенно очевидным, что калибровочная симметрия не может быть нарушена спонтанно (на самом деле, я даже не знаю, что означает «нарушение» калибровочной симметрии). Таким образом, теорема Элицура кажется совершенно тривиальной и может быть доказана одним предложением без математики, как это сделал профессор Вэнь выше. Но я предполагаю, что для того, чтобы «теорема» была названа в его честь, Элицур проделал немного больше работы. Какой именно нетривиальный результат доказал Элицур? Если он действительно занимался математикой, то, должно быть, имел дело с немного более нетривиальной задачей.
Другие сообщения, связанные с комментарием @tparker: physics.stackexchange.com/q/190416 (отрывок из ответа Доминика Эльза: «даже если мы интерпретируем калибровочные симметрии как настоящие симметрии, они никогда не могут быть спонтанно нарушены. Этот результат известен как теорема Элицура. ..") и physics.stackexchange.com/a/545485 (отрывок из ответа Рубена Верресена: "соответствующая глобальная симметрия также не нарушена. На самом деле это простое следствие из предыдущего пункта, поскольку глобальная симметрия является частным случаем локальной симметрии».)

Скажем иначе, чем этот другой ответ где-то еще на этой странице , ожидаемое значение должно быть задано некоторым процессом усреднения. ⟨ О ⟩ наблюдаемого О . Теперь, если вы хотите вычислить математическое ожидание калибровочно-ковариантной величины, вы должны усреднить по всей избыточности калибровки, что-то вроде ⟨ О ⟩ ∼ ⟨ ∅ | ∫ д р [ р О р † ] | ∅ ⟩ скажем, с | ∅ ⟩ вакуумное состояние (основное состояние, если хотите) и р калибровочное преобразование. Это соответствует сумме по всем внутренним (избыточным) степеням свободы, которая не меняет результат эксперимента (поэтому калибровочное преобразование охватывает набор состояний, которые нельзя отличить друг от друга). Калибровочное преобразование можно рассматривать как поворот в пространстве параметров, на который р также применимо, и поэтому среднее значение всегда равно нулю.

Таким образом, калибровочно-ковариантная величина не может быть наблюдаемой и, следовательно, не может быть параметром порядка.

Что же касается довода Полякова в явном виде (в чем его о Икс , α ?), я не могу сказать, так как никогда не открываю его книгу.

Понять теорему Элицура из простого рассуждения Полякова?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v