Как я могу показать, что инверсия непрерывно связана с отражением?

Напомним, что (глобальная) конформная группа задается выражением

$${\rm Conf}(p,q)~\cong~O(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \},\tag{1}$$

ср. например, этот пост Phys.SE. Использование вложения$\imath: \mathbb{R}^{p,q}\hookrightarrow \overline{\mathbb{R}^{p,q}}$в конформную компактификацию$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$, после непродолжительного расчета можно показать, что карта инверсии$I:\mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$, заданный

$$I(x)~:=~\frac{x}{\eta^{p,q}(x,x)} ,\tag{2}$$

представлен$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$матрица

$$I~=~{\rm diag}(-1,1,1,\ldots, 1) . \tag{3}$$

Во-вторых, отражение$R:\mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$первой координаты, заданной

$$R(x)~:=~(-x^1,x^2,\ldots,x^{p+q}),\tag{4}$$

представлен$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$матрица

$$R~=~{\rm diag}(1,-1,1,\ldots, 1) . \tag{5}$$

Поэтому состав$IR$представлен$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$матрица

$$IR~=~{\rm diag}(-1,-1,1,\ldots, 1) . \tag{6}$$

Теперь мы можем переформулировать вопрос ОП следующим образом.

Вопрос: Когда состав$IR$принадлежат связной компоненте${\rm Conf}_0(p,q)$который содержит элемент идентификации?

Ответ: Можно показать, что это происходит именно

• если$p>0$, или

• если$p=0$и$q$странно,

воспользовавшись тем, что неопределенная ортогональная группа $O(p\!+\!1,q\!+\!1)$имеет четыре связанных компонента и методы, описанные в вышеупомянутом посте Phys.SE.

Пример: в двумерном евклидовом случае$\mathbb{R}^{2,0}\cong \mathbb{C}$с$p=2$и$q=0$, обращение (2) есть

$$I(z)~=~\frac{1}{\bar{z}}, \tag{7}$$

отражение (4) минус комплексное сопряжение

$$R(z)~=~-\bar{z},\tag{8}$$

и состав$IR$это преобразование Мёбиуса

$$IR(z) ~=~-\frac{1}{z},\tag{9}$$

который представлен$SL(2,\mathbb{C})$матрица

$$\begin{pmatrix} 0 &\pm 1 \cr \mp 1 &0 \end{pmatrix}. \tag{10}$$ Преобразование Мёбиуса (9) - (10) принадлежит компоненте связности

$${\rm Conf}_0(2,0)~\cong~ SO^+(3,1) ~\cong~SL(2,\mathbb{C}) /\{\pm {\bf 1} \},\tag{11}$$

который содержит элемент идентичности, т. е. ограниченную группу Лоренца .

Концептуально идея состоит в том, что плоскости и сферы эквивалентны с точки зрения конформной геометрии. Конформные преобразования отображают {плоскости, сферы} в {плоскости, сферы} и фактически делают это транзитивно — любой объект в множестве {плоскости, сферы} может быть получен из любого другого с помощью конформного преобразования.

Инверсия — это отражение от сферы, и вам просто нужно соединить ее преобразованием, которое превращает эту сферу в плоскость, чтобы получить отражение. Это последнее преобразование можно непрерывно соединить с тривиальным преобразованием, перемещая центр сферы в бесконечность, сохраняя точку на границе фиксированной.

Точнее, предположим, что$T_1$отображает единичную сферу на плоскость$x_1=const$. Затем

$$R_1=T_1IT_{1}^{-1}$$ является отражением, если $I$— стандартная инверсия относительно единичной сферы. Если у нас есть гомотопия $T_t$, $t\in[0,1]$между $T_1$и $T_0=\mathrm{id}$, то имеем гомотопию между $R_1$отражение и $R_0=I$стандартная инверсия.

Чтобы найти такую ​​гомотопию, рассмотрим специальное конформное преобразование, которое дается выражением

$$K(a)=IP(a)I= x_\mu\mapsto \frac{x_\mu+a_\mu x^2}{1+a^2x^2+2(a\cdot x)}$$ для $P(a)$перевод $a$. Идея состоит в том, что первая инверсия отображает единичную сферу на себя, а затем мы можем перевести $a=(1,0,0,\ldots)$нанести на карту точку $-a$единичной сферы в начало координат, которое затем будет переведено в бесконечность второй инверсией. Сфера с бесконечно удаленной точкой — это плоскость. Легко видеть, что она будет даваться уравнением $x_1=1/2$учитывая, где находится точка $a$карты сферы вместе с симметрией конструкции.

Таким образом, мы можем принять$T_t=K(ta)$, с$K(0)=\mathrm{id}$. Работать с явными формулами несколько запутанно, но концепция должна быть ясной.

Думая о сфере$S^n$как одноточечная компактификация$\mathbb{R}^n$, мы можем рассмотреть стереографическую проекцию из плоскости, определяемой$x^0 = 0$к единичной сфере$\{x\in \mathbb{R}^n\,:\,|x| = 1\}$. Эта карта фактически определена на$\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$, это занимает точку$\infty$к северному полюсу единичной сферы. Более того, эти два подмножества являются в точности множествами неподвижных точек$R$и$I$, соответственно. Обе карты ведут себя как отражения над этими наборами фиксированных точек, как вы намекнули. Используя геометрическую картину стереографической проекции (карта тянет точку на плоскости вдоль линии, соединяющей эту точку с северным полюсом единичной сферы, пока она не коснется сферы), мы видим, что можем непрерывно переходить от тождественной карты к проекционную карту, непрерывно перемещаясь по этим линиям. Вы должны быть в состоянии записать соответствующие формулы без особых проблем. Мы также можем параметризовать этот процесс с помощью$t\in [0,1]$чтобы изображение самолета в$t = 0$это сам самолет и в то время$t = 1$является единичной сферой. Обозначим через$S_t$изображение этой карты в то время$t$. Определение семейства карт$S^n$быть отражением через$S_t$вовремя$t$дает непрерывный путь из$R$к$I$в пространстве карт от$S^n$к себе.

В зависимости от специфики задачи может потребоваться проверка, содержится ли этот путь отображений в конформной группе (т.е. для каждого$t\in [0,1]$то ли отражение через$S_t$является конформным).