Стандартный вывод алгебры Витта

Question

Стандартный вывод алгебры Витта

Чарухас

Я изучал конформную теорию поля последнюю неделю по книгам Блюменхагена и Ди Франческо и др.

Если я правильно понимаю, всякий раз, когда говорят о «локальных (бесконечно малых) конформных преобразованиях» на комплексной плоскости (например, $z \rightarrow z + \epsilon(z)$ ) описывается голоморфными функциями, неявно предполагается, что существует открытое подмножество (скажем, $U$ ), содержащий точку Комплексной плоскости, на которой функция $\epsilon(z)$ корректно определено и фактически голоморфно. Мой первый вопрос заключается в том, является ли это правильным взглядом на локальные конформные преобразования. Если нет, то что именно подразумевается под «локальными» конформными преобразованиями?

Теперь, если ответ на более ранний вопрос положительный, то я не понимаю, почему обе вышеупомянутые книги расширяются. $\epsilon(z)$ как ряд Лорана около 0 при выводе алгебры Витта. Ряд Лорана будет иметь свою область сходимости, которая может не содержать открытого множества $U$ . Так может ли кто-нибудь объяснить, почему оправдано предполагать, что $\epsilon$ имеет ряд Лорана около 0 и использует его для вывода формы образующих алгебры Витта? В принципе, можно было бы выбрать любую точку (скажем, $a$ ) открытого множества и выбираем окрестность $U$ быть достаточно «маленьким», чтобы $\epsilon(z)$ представлен рядом Тейлора вокруг $a$ . Обычно с помощью этой процедуры можно получить меньшую алгебру.

И я повторяю: если ответ на мой первый вопрос отрицательный, может ли кто-нибудь объяснить смысл локальных конформных преобразований в первую очередь?

пользователь40276

Если вы хотите узнать, как осуществляется математическая строгая трактовка бесконечно малых конформных преобразований, см. книгу «Достижения в теории модулей» Уэно и Симидзу.

Ответы (1)

Стандартный вывод алгебры Витта

Если вы хотите узнать, как осуществляется математическая строгая трактовка бесконечно малых конформных преобразований, см. книгу «Достижения в теории модулей» Уэно и Симидзу.

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v2):

Для определенности предположим, что базовое двумерное многообразие является сферой Римана. $S^2\cong \mathbb{C}\cup\{\infty\}$ .
Группа глобально определенных конформных преобразований (связанных с тождеством) представляет собой 6-мерную группу
${С о н ф}_{0} (п, д) ≅ С О^{+} (1, 3) ≅ п С л (2, С)$ ${\rm Conf}_0(p,q)~\cong~SO^+(1,3)~\cong~PSL(2,\mathbb{C})$ преобразований Мёбиуса .
С математической точки зрения следует рассматривать группоид локально определенных конформных преобразований. См. также, например, этот пост Phys.SE.
(Комплексная) алгебра Витта - это алгебра Ли мероморфных векторных полей на сфере Римана. $S^2$ . Это также комплексификация алгебры Ли векторных полей на окружности. $S^1$ .
С физической точки зрения, если мы, например, думаем о замкнутой струне в операторном формализме, то есть о простой замкнутой кривой $\gamma\subset S^2$ огибая некоторую отмеченную точку $a\in S^2$ , то по теореме об отображении Римана мы можем выбрать координатный участок так, что $\gamma$ является единичной окружностью в этой системе координат.
Серия Лорана о сути $a\in S^2$ , который мы предполагаем, определен в некотором кольце $A \supset \gamma$ , будет содержать все локальные деформации/моды Фурье струны и поэтому будет полезен для физического описания.
Смысл $a$ обычно ассоциируется с бесконечным прошлым $\tau=-\infty$ . По замене координат можно считать $a=0$ .
Ряд Тейлора (в отличие от ряда Лорана) о точке $a$ например, пропустит половину мод Фурье строки.
С другой стороны, если сфера Римана $S^2$ имеет $n\geq 2$ отмеченные точки $a_i\in S^2$ , $i\in\{1, \ldots, n\}$ , соответствующий $n$ вставки локальных операторов, то в $i$ '-я локальная координатная окрестность $U_i$ вокруг $a_i$ , ряд Тейлора является типичным адекватным физическим описанием.

@Qmechanic Группа глобально определенных конформных преобразований должна быть гладкими векторными полями окружности, комплексификация которых дает алгебру Витта. Группа Мёбиуса $PSL(2,\mathbb{C})$ подгруппа конформных преобразований, оставляющая вакуумное состояние инвариантным, не так ли?
Группа глобально определенных конформных преобразований (связанных с единицей) на сфере Римана есть группа Мёбиуса $PSL(2,\mathbb{C})$ .
1. Спасибо за объяснение, но мне остается неясным, рассматриваем ли мы мероморфные векторы с полюсами только в $0$ и $\infty$ или общие мероморфные векторы, кажется, в обоих случаях мы можем разложить в $z^n\partial_z$ . 2. А если мы рассматриваем общие мероморфные векторы, то почему физически?
1. Голоморфное на кольце. 2. Могут быть, например, дополнительные полюса из-за вставок оператора.

Стандартный вывод алгебры Витта

Чарухас

пользователь40276

Ответы (1)

Qмеханик

смягченный

Qмеханик

liyiontheway

Qмеханик

Чудовищный самогон вне теории струн

Почему мы считаем алгебру Витта алгеброй симметрии классической конформной теории поля?

Что такое орбифолды и чем они полезны и интересны для физики?

Комплексный тор, КАМ-теорема и диффеоморфизмы

Геометрическая/визуальная интерпретация алгебры Вирасоро

Как я могу показать, что инверсия непрерывно связана с отражением?

Глобальная конформная группа в двумерном евклидовом пространстве

Зачем для введения спинорных полей нужна эта карта в определении спинорной структуры?

Уравнение Эйлера-Пуанкаре

Вопрос о полупрямом произведении в пространстве модулей ddd-тора TdTdT^d