Как я могу получить коммутатор между производной скалярного поля и генератором Лоренца МММ?

Я полагаю, что вы работаете со вторым разделом Средненицкого, поэтому я постараюсь быть близким к обозначениям этой книги. (Поэтому я считаю, что ваше выражение$U(\Lambda)= U(1+\delta\omega) = I+\frac{1}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$должно было$I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$)

Во-первых, обратите внимание, что$U(\Lambda)^{-1}\phi(x)U(\Lambda)=\phi(\Lambda^{-1}x)$. Брать$\Lambda^\mu_{\; \nu}=\delta^\mu_{\; \nu}+\delta\omega^\mu_{\; \nu}$и$U(\Lambda)=I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$. Левая сторона просто$\phi(x)+\frac{i}{2\hbar}\delta \omega_{\mu\nu}[\phi(x),M^{\mu\nu}]$до линейного порядка$\delta\omega_{\mu\nu}$. Правая сторона есть$\phi(x^\mu+\delta\omega^\mu_{\;\nu}x^\nu)=\phi(x)+\delta\omega^\mu_{\;\nu}x^\nu\partial_\mu\phi(x)=\phi(x)+\delta\omega_{\mu\nu}x^\nu\partial^\mu\phi(x)$. Сравните коэффициенты$\delta\omega_{\mu\nu}$и используем антисимметрию, имеем$[\phi(x),M^{\mu\nu}]=\frac{\hbar}{i}(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)$.

Сейчас$\partial^\rho(U(\Lambda)^{-1}\phi(x)U(\Lambda))=U(\Lambda)^{-1}\partial^\rho \phi(x)U(\Lambda)=\partial^\rho\phi(\Lambda^{-1}x)$что эквивалентно вашему первому уравнению.

Опять же, используйте$U(\Lambda)= I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$, приведенное выше уравнение$[\partial^\rho\phi(x),M^{\mu\nu}]=\partial^\rho(\frac{\hbar}{i}(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)) \phi(x)$. Следуя вашим (и Средненицкого) обозначениям,$L^{\mu\nu}=\frac{\hbar}{i}(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)$. Обратите внимание, что$[\partial^\rho\phi(x),M^{\mu\nu}]=\partial^\rho L^{\mu\nu}\phi(x)=L^{\mu\nu}\partial^{\rho}\phi(x)+[\partial^\rho,L^{\mu\nu}]\phi(x)$; отсюда ваше уравнение$\big[\partial^\rho\phi(x), M^{\mu\nu}\big]= L^{\mu\nu}\partial^\rho\phi(x)+\big(S^{\mu\nu}_V\big)^\rho_{\;\tau}\partial^\tau\phi(x)$эквивалентно доказательству того, что$[\partial^\rho,L^{\mu\nu}]=\big(S^{\mu\nu}_V\big)^\rho_{\;\tau}\partial^\tau$.

Но