Явная демонстрация релятивистской инвариантности уравнения Вейля

Что ж, я могу показать вам, что уравнения Вейля, по крайней мере, релятивистски инвариантны. Он основан на тождестве, которого я не нашел ни в одной стандартной книге по КТП, но это легко показать.

Прежде всего возьмем наши гамма-матрицы в киральном представлении

$\gamma^\mu= \left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma^\mu \\ \bar{\sigma}^\mu & 0 \end{array}\right)$.

При преобразованиях Лоренца спинор Дирака

$\Psi(x)=\left(\begin{array}{c} \psi_L \\ \psi_R \end{array}\right)$

превращается в$\Psi'(x')=S\Psi(x)$. Здесь$\psi_L$и$\psi_R$являются левыми и правыми спинорами Вейля соответственно. Мы можем написать$S$как

$S= \left(\begin{array}{cc} L & 0 \\ 0 & R \end{array}\right)$такой, что

$\psi_L\rightarrow L\psi_L$и$\psi_R\rightarrow R\psi_R$.

У нас также есть это$S^{-1}\gamma^\mu S=\Lambda^\mu_{\text{ }\nu}\gamma^\nu$. Затем мы можем легко показать, что это верно тогда и только тогда, когда выполняется следующее

$L^{-1}\sigma^\mu R=\Lambda^\mu_{\text{ }\nu}\sigma^\nu$,$R^{-1}\bar{\sigma}^\mu L=\Lambda^\mu_{\text{ }\nu}\bar{\sigma}^\nu$.

Теперь мы можем показать, что уравнения Вейля инвариантны. Я сделаю один из них.

У нас есть$i\sigma^\mu\partial_\mu\psi_R=0$. Преобразованная версия Лоренца

$i\sigma^\mu\partial'_\mu\psi'_R=i\sigma^\mu (\Lambda^{-1})^\rho_{\text{ }\mu}\partial_\rho R\psi_R=iL(L^{-1}\sigma^\mu R)(\Lambda^{-1})^\rho_{\text{ }\mu}\partial_\rho \psi_R$что дает нам, после нашей идентичности,$iL\sigma^\nu \Lambda^\mu_{\text{ }\nu}(\Lambda^{-1})^\rho_{\text{ }\mu}\partial_\rho \psi_R$.

Затем$\Lambda^\mu_{\text{ }\nu}(\Lambda^{-1})^\rho_{\text{ }\mu}=\delta^\rho_\nu$давая нам$L(i\sigma^\nu \partial_\nu \psi_R)=0$.

Уравнения Вейля выводятся из безмассового уравнения Дирака, что возможно только потому, что левый и правый спиноры отделяются друг от друга. Таким образом, добавление массового члена к уравнениям Вейля не имеет смысла, поскольку по определению они описывают безмассовые частицы со спином 1/2.

Но доказательство действительно разваливается с массовым членом. Если бы мы (каким-то образом)

$(i\sigma^\mu\partial_\mu-m)\psi_R=0$

преобразованная Лоренцем версия этого была бы

$(iL\sigma^\mu\partial_\mu-mR)\psi_R$

что, очевидно, не равно исходной форме.