Лоренц-инвариантность меры ∫d3p2ωp√∫d3p2ωp\int \frac{d^3 p}{\sqrt{2\omega_p}}

Скалярный оператор квантового поля определяется

ф 0 ( Икс → , т ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п ( а п е − я п Икс + а п † е я п Икс )

в ур. Шварца. 2.78. Здесь ю п "=" п → 2 + м 2 . Можно показать, что

∫ г 3 к → 2 ю к "=" ∫ г 4 к дельта ( к 2 − м 2 ) θ ( к 0 )

является лоренц-инвариантной мерой. Я не понимаю, как мера в определении квантового поля является лоренц-инвариантной из-за этого квадратного корня.

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/83260/2451 и ссылки там.
Смотрел ссылки и не нашел ответа на свой вопрос.
Возможно: мера в первом интеграле выше не обязательно является лоренц-инвариантной, но выражение в целом таково, потому что это оператор, который создает лоренц-инвариантные состояния, когда он действует на кеты. Как в:
ф ( Икс → ) | 0 ⟩ "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п е − я п ⋅ Икс | п → ⟩
где мы использовали а п † | 0 ⟩ "=" 1 ю п | п → ⟩ .
Вместе с
⟨ 0 | ф ( Икс → ) | п → ⟩ "=" е я п ⋅ Икс .
И так как ф оператор производит лоренц-инвариантные вещи, это лоренц-инвариант. Это правда? Можно ли сделать это строго?

Ответы (2)

Мы хотим построить поле так, чтобы

⟨ п → | ф ( Икс ) | 0 ⟩ "=" е − я п → ⋅ Икс →
и определение ⟨ п → | "=" ⟨ 0 | 2 ю п а п , то есть государство | п → ⟩ имеют инвариантный внутренний продукт:
⟨ к → | п → ⟩ "=" 2 ю п ( 2 π ) 3 дельта 3 ( п → − к → )
так что тождественный оператор может быть записан как:
1 "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п | п ⟩ ⟨ п |
поэтому квадратный корень просто отменяет квадратный корень из ⟨ п → | состояние.

Все это условности. Учебник Вайнберга выбирает другой в ведьме

⟨ к → | п → ⟩ "=" ( 2 π ) 3 дельта 3 ( п → − к → )
и цена состоит в том, чтобы ввести новый фактор в преобразование Лоренца состояния | п → ⟩ :
U ( Λ ) | п → ⟩ "=" ( Λ п ) 0 п 0 | п → Λ ⟩

Я думаю, что вы, возможно, неправильно прочитали мой вопрос. я не спрашиваю о ∫ г 3 к 2 ю к . Скорее я спрашиваю, почему
∫ г 3 к 2 ю к
является лоренц-инвариантным.
@Dwagg Я отредактировал, посмотри, теперь это отвечает?
@Noguira В своем последнем заявлении вы говорите о первом уравнении в моем вопросе?
@Dwagg Это 2 ю п которое появляется в выражении поля (ваша первая формула), просто нужно отменить квадратный корень из определения состояния ⟨ п → | для того, чтобы дать то, что вы хотите, е я п Икс
Хорошо. В частности, первая формула сама по себе не является лоренц-инвариантной? Он построен, чтобы сделать ⟨ 0 | ф ( Икс , т ) | п → ⟩ "=" е я п Икс "=" Инвариант Лоренца?
@Dwagg Первую строку можно сделать инвариантной по Лоренцу, назначив операторы а п → и а п → † соответствующие свойства трансформации. Является ли это красивой конвенцией, это другой вопрос.
@Dwagg, да ведь поле ф ( Икс ) не является лоренц-инвариантным, а преобразуется как ф ( Λ Икс ) , это нетривиальное представление (просто вакуум является тривиальным представлением).

Рассматриваемая вами мера не является лоренц-инвариантной. Дело в том, что при преобразованиях Лоренца а п и а п † не п -скалярные поля, но они берут множитель, который компенсирует неспособность меры быть инвариантной по Лоренцу, а интеграл, определяющий квантовое поле, дает скалярное поле. Ответ Ногейры включает в себя всю информацию, необходимую для записи правила преобразования а п и его эрмитов сопряженный компаньон. Однако все это вопрос соглашения, поскольку можно было бы использовать инвариантную меру с нуля.

Лоренц-инвариантность меры ∫d3p2ωp√∫d3p2ωp\int \frac{d^3 p}{\sqrt{2\omega_p}}
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v