Представления группы Лоренца на гильбертовых пространствах

На вопрос 1 вы спрашиваете, почему оператор$A$преобразуется при унитарном преобразовании$U$как$A' = U A U^\dagger$? Если да, то ответ прост: 2 состояния$|a>$и$|b>$трансформируется в$|a'> = U |a>$и$|b'>= U |b>$, вы хотите

$$<a|A|b> = <a'|A'|b'>$$

С$<a'|A'|b'> = <a | U^\dagger A' U |b>$, равенство выше верно для любых состояний$|a>$и$|b>$, вы делаете вывод:$A = U^\dagger A' U$. унитарное$U$говорит вам, что$U^{-1} = U^\dagger$и поэтому$A' = U A U^\dagger$.

Ответ на первый вопрос.

Ответ на ваш первый вопрос можно получить, обратившись к понятию симметрии в квантовой механике. Я не думаю, что какое-либо обсуждение различных картин временной эволюции действительно необходимо.

Пусть преобразование$T$быть квантовой симметрией, то, учитывая вероятность перехода, построенную из состояний и операторов, если мы заменим состояния$\psi$которые появляются в этой вероятности с$T\psi$, а если заменить операторы$O$которые появляются с$TOT^{-1}$, то вероятность перехода не изменится.

Этот факт делает определение операторного преобразования как$O\mapsto TOT^{-1}$полезная концепция. Давайте посмотрим, почему приведенный выше факт верен.

Пусть квантовая система с гильбертовым пространством$\mathcal H$быть данным. Вероятность перехода из состояния$\phi\in\mathcal H$констатировать$\psi\in\mathcal H$определяется как

$$\begin{align} P(\psi,\phi) = \left|\frac{(\psi,\phi)}{\|\psi\|\|\phi\|}\right|^2. \end{align}$$ Напомним, что состояния должны иметь ненулевую норму, поэтому нам не нужно беспокоиться о делении на ноль в правой части. Вероятности перехода — это то, что мы вычисляем в квантовой механике, чтобы предсказывать вероятности результатов измерений.

Симметрией этой системы является любое обратимое преобразование$T:\mathcal H \to\mathcal H$что сохраняет переходные вероятности. Явно,$T$является симметрией при условии, что это биекция и

$$\begin{align} P(T\psi, T\phi) = P(\psi,\phi) \end{align}$$ для всех ненулевых $\psi,\phi\in\mathcal H$. Теперь рассмотрим ненулевое состояние $\phi$такой, что $\phi = O\xi$для некоторых $\xi\in\mathcal H$. Условие симметрии гарантирует, что $$\begin{align} P(T\psi, TO\xi) = P(\phi, O\xi) \end{align}$$ С $T$обратим, мы можем вставить $T^{-1}T = I$между $O$и $\xi$без изменения левой части, поэтому условие гарантирует, что $$\begin{align} P(T\psi, TOT^{-1}T\xi) = P(\phi, O\xi). \end{align}$$ Аналогичное замечание можно было бы сказать, если $O$были строкой $O_1O_2\cdots O_n$вместо составных операторов. В таком случае у нас было бы $$\begin{align} P(T\psi, TO_1T^{-1}TO_2T^{-1}\cdots TO_nT^{-1}T\xi) = P(\phi, O_1O_2\cdots O_n\xi). \end{align}$$ Это математический способ записи факта, который мы хотели продемонстрировать.

Ответ на второй вопрос.

Примечание. Вы должны попытаться задать только один вопрос в данном посте SE.

Представления$r$и$r'$не то же самое. Как вы их написали,$r$является представлением группы симметрии$G$действующий на$\mathcal H$, пока$r'$представляет собой представление$G$действует на целевое пространство$V$теории. Целевое пространство — это просто пространство, в котором живут значения классического поля. Для реального скалярного поля мы бы имели$V=\mathbb R$. Для векторного поля Лоренца мы бы имели$V =\mathbb R^{3,1}$, и т. д.

Замена$\hat p^\mu = i\partial^\mu$не правильный метод определения$r$. Обратите внимание, в частности, что$\hat p^\mu$является оператором на$\mathcal H$, но$i\partial^\mu$есть (для каждого$\mu$) оператор на множестве допустимых классических полевых конфигураций.