Преобразование скалярного поля под Лоренц Буст [закрыто]

Предположим преобразование Лоренца Λ должен быть реализован как унитарный оператор U ( Λ ) в гильбертовом пространстве квантовых состояний фоковского представления, на которое действует скалярное поле Клейна-Гордона:

ф ( Икс ) "=" ∫ г 3 к 2 к 0 ( а ( к ) е − я к ⋅ Икс + а † ( к ) е + я к ⋅ Икс ) ≡ ∫ г Ом м ( а ( к ) е − я к ⋅ Икс + а † ( к ) е + я к ⋅ Икс )
где г Ом м — лоренц-инвариантный элемент меры. Как трансформируются операторы уничтожения и создания? Как я могу доказать, что
U ( Λ ) ф ( Икс ) U † ( Λ ) "=" ф ( Λ Икс ) ?

Понижение кажется резким. Я не уверен, почему вопрос был опубликован в форме «ответьте на свой вопрос», но на это было потрачено много усилий. Действительно ли понижение рейтинга и/или закрытие сделают мир лучше?
Учитывая, что это вопрос о домашнем задании, и мы снова и снова говорили, что вопросы, похожие на домашнее задание, и вопросы о проверке моей работы не относятся к теме, я не вижу причин, по которым этот вопрос должен получить специальный пропуск только потому, что ОП ответил на него.
@ Кайл Канос Я действительно сомневался, публиковать это или нет: я понял ошибку, которую совершал, записывая это. Итак, я проверил ссылку «Стиль вопросов и ответов» ниже и обнаружил: «Чтобы быть предельно ясным, не просто нормально задавать и отвечать на свой собственный вопрос, это явно поощряется» ...
Да, спрашивать и отвечать можно ( я делал это сам ). Однако ваш вопрос не соответствует вопросам типа «Выполните этот расчет для меня» , которые мы считаем не относящимися к теме.
@Kyle Kanos Вы предлагаете мне симулировать сомнение в конкретной физической концепции, связанной с этой темой, чтобы соответствовать критериям, перечисленным в ссылке? Или что я должен удалить пост? Я подумал, что это может помочь мне и другим пользователям найти этот подробный расчет на сайте, поэтому я разместил его в стиле вопросов и ответов. Я не обижаюсь: мои сомнения искренни.
Для протокола: я столкнулся с этим вопросом, потому что задавался им во время изучения теории, и это не было домашней задачей; скорее концептуальный об операторах создания/уничтожения. Этот пост и решение были полезны для меня. Сайту может быть полезно повторно открыть этот вопрос. @ДжонРенни

Ответы (1)

Физически создание частицы с импульсом п будет зависеть от группы Лоренца следующим образом: поскольку

U ( Λ ) | п ⟩ "=" | Λ п ⟩
| п ⟩ "=" а † ( п ) | 0 ⟩
мы получаем
U ( Λ ) а † ( к ) U † ( Λ ) "=" а † ( Λ к ) .
Действительно, любая амплитуда перехода дает:
⟨ Λ п | Λ д ⟩ "=" ⟨ 0 | а ( Λ п ) а † ( Λ д ) | 0 ⟩ ⟨ Λ п | Λ д ⟩ "=" ⟨ п | U † ( Λ ) U ( Λ ) | д ⟩ "=" ⟨ 0 | а ( п ) U † ( Λ ) U ( Λ ) а † ( д ) | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | U † ( Λ ) U ( Λ ) а ( п ) U † ( Λ ) U ( Λ ) а † ( д ) U † ( Λ ) U ( Λ ) | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | U ( Λ ) а ( п ) U † ( Λ ) U ( Λ ) а † ( д ) U † ( Λ ) | 0 ⟩ ;
сравнение дает формулу преобразования для а , а † , где мы использовали постулат: U ( Λ ) | 0 ⟩ "=" | 0 ⟩ . Затем, взяв сопряженное из вышеприведенного:
U ( Λ ) а ( к ) U † ( Λ ) "=" а ( Λ к ) .
Сейчас
U ( Λ ) ф ( Икс ) U † ( Λ ) "=" U ( Λ ) ∫ г Ом м ( а ( к ) е − я к ⋅ Икс + а † ( к ) е + я к ⋅ Икс ) U † ( Λ ) "=" ∫ г Ом м ( U ( Λ ) а ( к ) U † ( Λ ) е − я к ⋅ Икс + U ( Λ ) а † ( к ) U † ( Λ ) е + я к ⋅ Икс ) "=" ∫ г Ом м ( а ( Λ к ) е − я к ⋅ Икс + а † ( Λ к ) е + я к ⋅ Икс )
изменение переменной и вызов г Ом м инвариантен относительно такого изменения, которое фактически является бустом, к "=" Λ − 1 к ′ :
∫ г Ом м ′ ( а ( к ′ ) е − я ( Λ − 1 к ′ ) ⋅ Икс + а † ( к ′ ) е + я ( Λ − 1 к ′ ) ⋅ Икс ) "=" ∫ г Ом м ′ ( а ( к ′ ) е − я ( Λ − 1 к ′ ) ⋅ ( Λ − 1 Икс ′ ) + а † ( к ′ ) е + я ( Λ − 1 к ′ ) ⋅ ( Λ − 1 Икс ′ ) )
где Икс ′ "=" Λ Икс . Но ⋅ произведение инвариантно относительно Λ так:
U ( Λ ) ф ( Икс ) U † ( Λ ) "=" ∫ г Ом м ′ ( а ( к ′ ) е − я к ⋅ Икс ′ + а † ( к ′ ) е + я к ′ ⋅ Икс ′ ) "=" ф ( Икс ′ "=" Λ Икс ) .

как вы получаете свое третье уравнение? Из первых двух:
U ( Λ ) а † ( п ) | 0 ⟩ "=" U ( Λ ) | п ⟩ "=" | Λ п ⟩ "=" а † ( Λ п ) | 0 ⟩ ,
из чего можно сделать вывод, что
U ( Λ ) а † ( п ) "=" а † ( Λ п ) .
добавлено дополнительное объяснение для U ( Λ ) а † ( п ) U † ( Λ ) "=" а † ( Λ п )
Спасибо. Итак, вы говорите, что мои рассуждения неверны, потому что U ( Λ ) | 0 ⟩ "=" | 0 ⟩ , верно? Кроме того, вы могли бы указать, что ваш п являются 4-импульсами... выделение жирным шрифтом заставляет задуматься о 3-векторах
Да, я не думаю, что между моей формулой и вашей есть противоречие, просто моя мне больше нравится, потому что обычно операторы преобразуются по сопряженности... И да, моя п являются 3-импульсами, поскольку физическое состояние может быть обозначено тремя компонентами пространственного импульса, и добавить п 0 массовой оболочкой, когда это необходимо.
хорошо, но тогда как вы интерпретируете Λ п если п является 3-вектором и Λ может быть (например) повышение?
Λ п "=" Λ п т.е. пространственная часть Λ п где п четырехмерный вектор; это просто способ подчеркнуть, что только три из этих параметров характеризуют квантовое состояние.
Всем привет. Я думаю, что есть более прочная почва для обоснования ваших первых предположений. Я напишу это здесь, и если хотите, вы можете отредактировать свой ответ. Исследуем оператор U ( Λ ) а † U † ( Λ ) , Обратите внимание, что U † ( Λ ) "=" U ( Λ − 1 ) . Действие оператора определяется его действием на все базисные векторы. В пространстве fock это означает, что нам нужно оценить
U ( Λ ) а † ( п ) U † | п 1 . . . п Н >
The U преобразовать каждый импульс с помощью Λ . Примените все 3 оператора:
"=" | п 1 . . . Λ п . . . п Н >
"=" а † ( Λ п ) | п 1 . . . п Н >
Итак, в ответ было доказано, что U а п † U † "=" а Λ п † и в первом комментарии показано, что U а п † "=" а Λ  п † . Так они оба правы?
Преобразование скалярного поля под Лоренц Буст [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v