Как я могу сделать эту игрушечную квантовую модель случайного блуждания унитарной?

Позволять$\psi(k,t)$быть амплитудой, чтобы найти частицу на месте$k$вовремя$t$. Также пусть$U_{j,k}$быть матрицей, описывающей ваш процесс, такой, что

$$\psi(j, t+1) = \sum_k{U_{j,k}\psi(k,t)}$$ Тогда предложенный вами процесс описывается $$U_{j,k} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \delta_{j,k-1} + \delta_{j, k+1}\right)$$ Можно сразу убедиться, что процесс применения $U$к начальной амплитуде $\psi(k,t=0) = \delta_{k,0}$производит именно те состояния, которые вы описали для $t=1$и $t=2$.

Проблема, с которой вы сталкиваетесь, заключается в том, что U не является унитарным, поскольку

$$\sum_l{U^*_{l,j}U_{l,k}} = \frac{1}{2}\sum_l{\left( \delta_{l,j-1} + \delta_{l, j+1}\right)\left( \delta_{l,k-1} + \delta_{l, k+1}\right)} = \frac{1}{2}\left( \delta_{j, k-2} + 2\delta_{j,k} + \delta_{j, k+2} \right) \neq \delta_{j,k}$$ Для более формального подхода обратите внимание, что U можно записать как сумму $$U = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(W^\dagger + W \right)$$ где
$$W_{j,k} = \delta_{j,k+1} \;\;\;\text{and} \;\;\; \sum_l{W^*_{j,l}W_{l,k}} = \delta_{j+1,k+1}, \;\; \sum_l{W_{j,l}W^\dagger_{l,k}} = \delta_{j,k}$$ Это значит, что $W$унитарна, так как $$W^\dagger W = WW^\dagger = I$$ К сожалению, тот факт, что $W^2 \neq W$, $\left(W^\dagger\right)^2 \neq W^\dagger$, приводит к $U^\dagger U = \frac{1}{2}\left( W^2 + \left(W^\dagger\right)^2 + W W^\dagger + W^\dagger W \right) \neq I$, как мы уже знаем.

Как исправить: я не думаю, что вам нужно брать амплитуды в качестве матриц. То, что следует ниже, ни в коем случае не является окончательным решением, но оно показывает, что все можно решить разными способами.

Нам нужен удобный унитар$U$который включает только переходы между соседними сайтами. Мы уже знаем, что простая суперпозиция левых и правых прыжков по всей решетке не работает. Один из способов обойти это — использовать простую динамику на парах соседних сайтов. Например: разбить решетку на непересекающиеся пары$(2k, 2k+1)$,$k = 0, \pm 1, \pm 2,...$и для каждой пары задайте унитарную матрицу SU (2)$U^{(k)}$,

$$U^{(k)}_{2k,2k} = cos(\theta_k),\;\;U^{(k)}_{2k,2k+1} = sin(\theta_k)e^{i\alpha_k} \\ U^{(k)}_{2k+1,2k} = -sin(\theta_k)e^{i\alpha_k},\;\;U^{(k)}_{2k+1,2k+1} = cos(\theta_k)$$ Суперпозиция $$W^{(+)} = \sum_k{U^{(k)}}$$ унитарна, но действует отдельно на каждую пару $(2k, 2k+1)$. Так как мы хотим, чтобы суммарный процесс смешивал соседние сайты в обоих направлениях, построим также аналогичные процессы $V^{(k)}$для пар $(2k-1, 2k)$, $k = 0, \pm 1, \pm 2,...$, $$V^{(k)}_{2k-1,2k-1} = cos(\theta_k),\;\;V^{(k)}_{2k-1,2k} = sin(\theta_k)e^{i\alpha_k} \\ V^{(k)}_{2k,2k-1} = -sin(\theta_k)e^{i\alpha_k},\;\;V^{(k)}_{2k,2k} = cos(\theta_k)$$ и определим дополнительную унитарную суперпозицию $$W^{(-)} = \sum_k{V^{(k)}}$$ Теперь мы можем определить процесс U с унитарным шагом по времени как $$U = W^{(-)} W^{(+)}$$

Чтобы увидеть, как это работает на простом примере, возьмите$\theta_k = \frac{\pi}{4}$,$\alpha_k = 0$и$\psi(j,t=0) = \delta_{j,0}$. Тогда, если

$${\bar \psi}(j, 0) = \left[W^{(+)}\psi(t=0)\right]_j = \left[U^{(0)}\psi(t=0)\right]_j = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \delta_{j,0} - \delta_{j,1}\right)$$ у нас есть для $t=1$ $$\psi(j, t=1) = \left[U\psi(t=0)\right]_j = \left[ W^{(-)}{\bar \psi}(t=0) \right]_j = \left[ \left(V^{(0)} + V^{(1)}\right) {\bar \psi}(t=0)\right]_j = \frac{1}{2}\left(\delta_{j,-1} + \delta_{j,0} - \delta_{j,1} + \delta_{j,2} \right)$$ Это немного асимметричное распространение, но оно идет в обоих направлениях на соседних сайтах и ​​сохраняет вероятность. Надеюсь, поможет.

То, что вы описываете, — это прогулка Адамара по прямой .

Блуждание Адамара — это дискретное квантовое блуждание. Чтобы сделать его единым, состояние ходока должно быть определено не в одном, а в двух пространствах: монета (возможные направления ходока) и положение. Затем осуществляется сам обход путем применения двух унитарных преобразований.

Вы можете найти больше об этом здесь , в разделе 3.1.

Я нашел набор из четырех амплитуд, которые, кажется, работают. Вы должны предположить, что у частицы есть два состояния.

L Двигаться влево (амплитуда = +1/2)

L' Переместиться влево и изменить поляризацию (амплитуда = +1/2)

R Сдвинуть вправо (амплитуда = +1/2)

R 'Двигайтесь вправо и меняйте поляризацию (амплитуда = -1/2)

Я проверил его до t = 3, и, похоже, он работает. Хотя я не доказал, что это работает всегда. Похоже, что он моделирует движение частицы по световому конусу. Поскольку вероятность для$x^2\neq t^2$кажется всегда равным нулю.