Как рассчитать амплитуду вероятности на уровне дерева для процесса электрон-позитрон-мюон-антимюон?

Рассмотрим следующий процесс:$e^+ + e^- \rightarrow \mu^+ + \mu^-$. Я пытаюсь вычислить амплитуду вероятности такого процесса в ведущем порядке.

В ведущем порядке амплитуда определяется выражением:

$$\mathcal{M} = ie^2 [\bar{v}(p_2,s_2)\gamma^{\mu}u(p_1,s_1)]\frac{1}{(p_1+p_2)^2}[\bar{u}(p_3,s_3)\gamma_{\mu}v(p_4,s_4)].$$

Чтобы получить полную амплитуду вероятности, нам нужно просуммировать все спиновые состояния и возвести амплитуду в квадрат. В итоге выражение сводится к:

$$\sum_{ s} |\mathcal{M}|^2 = \frac{e^4}{s^2} \operatorname{Tr} [\gamma^{\mu}(\gamma^{\sigma}p_{1,\sigma}+m_1)\gamma^{\nu}(\gamma^{\alpha}p_{2,\alpha}-m_2)] \operatorname{Tr} [\gamma_{\mu}(\gamma^{\beta}p_{4,\beta} - m_4)\gamma_{\nu}(\gamma^{\delta}p_{3,\delta}+m_3)]$$

где$\gamma^{\mu}$матрицы Дирака,$p_{1,2,3,4}$– входящие импульсы позитрона и электрона (1 и 2) и исходящие импульсы мюонов (3 и 4). Массы имеют одинаковую маркировку.

Используя отношения трассировки для матриц Дирака, я продвинулся в вычислении трасс:

$$\operatorname{Tr} [\gamma^{\mu}(\gamma^{\sigma}p_{1,\sigma}+m_1)\gamma^{\nu}(\gamma^{\alpha}p_{2,\alpha}-m_2)] \\= 4(g^{\mu \sigma}g^{\nu\alpha}p_{\sigma 1}p_{\alpha 2} - g^{\mu \nu}g^{\sigma \alpha}p_{\sigma 1}p_{\alpha 2} + g^{\mu \alpha}g^{\sigma \nu}p_{\sigma1}p_{\alpha2}- g^{\mu \nu} m_1 m_2)$$

(где я использовал, что все трассы с нечетным числом гамма-матриц тождественно равны нулю), и аналогичный термин для второй трассы.

Если бы кто-то мог проверить, хорошо ли это до сих пор, я был бы признателен, так как я новичок в этой нотации. Кроме того, как мне продолжить отсюда? Я немного сбит с толку, когда хочу перемножить эти метрические тензоры друг с другом, особенно когда я рассматриваю произведение со второй трассой. Я был бы признателен, если бы кто-то мог закончить расчет в шагах.