Нарушение унитарности: смысл и последствия

Унитарность — центральная черта всех квантовых теорий, независимо от полей или отсутствия полей. Унитарность — это просто требование, чтобы оператор эволюции времени$U(t_1,t_2)$с любого времени$t_1$в любое время$t_2$быть унитарным , т.е. сохранять внутренний продукт$(\cdot,\,\cdot)$гильбертова пространства состояний$\mathcal{H}$, т.е. для любых состояний$|\psi\rangle,|\phi\rangle$,

$$(U(t_1,t_2)|\psi\rangle,U(t_1,t_2)|\phi\rangle) = (|\psi\rangle,|\phi\rangle) \quad\forall t_1,t_2$$ что, как легко видеть, эквивалентно$U^\dagger U = \mathrm{id}_\mathcal{H}$по определению сопряженного. ¹ Также очевидно, что плохо, если эволюция времени не является унитарной, поскольку, например, норма$\lvert(|\psi\rangle,|\psi\rangle)\rvert^2$есть, по правилу Борна, вероятность найти (нормализованное) состояние$|\psi\rangle$в штате$|\psi\rangle$. Очевидно, что лучше остаться$1$на протяжении всей временной эволюции.

Кроме того, поскольку унитарность означает сохранение нормы, а норма представляет собой квадрат суммы коэффициентов в базисе (которые представляют собой вероятности найти состояние в базисном состоянии), неунитарность будет означать, что сумма всех вероятностей превышает$1$. Опять же, надеюсь, очевидно, что это было бы плохо.

Верно также и обратное: можно увидеть, что если мы обнаружим вероятности (например, для рассеяния от начального состояния к конечному), превышающие$1$ где-либо в теории, хотя все начальные состояния были нормализованы, тогда эволюция во времени / теория, очевидно, не является унитарной, что, я полагаю, имеет место в фермиевской теории бета-распада.

---

^{1 Я не использую здесь обозначение Дирака, потому что оно скрывает, что сохранение скалярного произведения — это несколько иное определение, чем$U^\dagger U = \mathrm{id}_\mathcal{H}$априори.}

Унитарность связана с «сохранением вероятности». Должно быть совершенно ясно, что квантово-механическая эволюция, предписываемая уравнением Шредингера, обусловлена ​​сильно унитарной группой, порожденной гамильтонианом (когда он не зависит от времени) или, в более общем смысле, соответствующим унитарным пропагатором (когда гамильтониан является временным). -зависимый). В каждом случае скалярные произведения и, следовательно, амплитуды вероятности сохраняются при эволюции во времени. Предполагается, что уравнение Шрёдингера обеспечивает правило эволюции, поэтому нарушение унитарности неприемлемо в квантовой структуре, и когда это происходит, нужно искать более простое решение, например, некоторые неверные предположения в настройках модели.

В теории Ферми$\beta$-распад, сечения проявляют расходящееся поведение на масштабах выше примерно 300 ГэВ. Такая проблема связана с плохим описанием при низких энергиях (т. е. с приближением точечного взаимодействия). Более точная теория, включающая векторные бозоны, позволяет избежать этого неудобства.