Одиночный электрон в цепочке из двух атомов: факторизация гильбертова пространства по внешним и внутренним степеням движения

Question

Одиночный электрон в цепочке из двух атомов: факторизация гильбертова пространства по внешним и внутренним степеням движения

СтарБак

У меня есть вопрос по первым страницам книги Яноша К. Асбута, Ласло Орослани и Андраша Пали "Краткий курс топологических изоляторов".

Но на самом деле мы можем увидеть это здесь: http://theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/sites/default/files/ts15/TalkSSH.pdf

Презентация проблемы

Мы работаем с одномерной цепочкой, где есть два типа атомов $A$ и $B$ . Элементарная ячейка обозначается $m$ . Мы изучаем движение одного электрона.

У нас разные условия взаимодействия: $v$ и $w$ .

Они работают со следующей гамильтоновой моделью SSH:

ЧАС "=" в \sum_{м "=" 1}^{Н} (| м, Б ⟩ ⟨ м, А | + час с) + ж \sum_{м "=" 1}^{Н - 1} (| м + 1, А ⟩ ⟨ м, Б | + час с)

$H=v \sum_{m=1}^N (|m,B\rangle\langle m,A| +hc)+w\sum_{m=1}^{N-1} (|m+1,A\rangle\langle m,B|+hc)$

Где $hc$ для эрмитической конъюгаты.

Таким образом, если мы напишем гамильтониан, у нас будет что-то вроде:

ЧАС "=" [\begin{matrix} 0 & в & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ в & 0 & ж & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ж & 0 & в & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & в & 0 & ж & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ж & 0 & в & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & в & 0 & ж & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ж & 0 & в \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & в & 0 \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix}0&v&0&0&0&0&0&0\\v&0&w&0&0&0&0&0 \\ 0&w&0&v&0&0&0&0 \\ 0&0&v&0&w&0&0&0\\ 0&0&0&w&0&v&0&0\\ 0&0&0&0&v&0&w&0 \\ 0&0&0&0&0&w&0&v \\ 0&0&0&0&0&0&v&0 \end{bmatrix}$

И гильбертово пространство можно рассматривать как тензорное произведение:

$\mathcal{H}_{tot}=\mathcal{H}_{ext} \otimes \mathcal{H}_{int}$

Где внешняя степень свободы представлена буквой $m$ , а внутренний тем, что мы на месте $A$ или $B$ .

Таким образом : $|m,\alpha\rangle = |m\rangle \otimes |\alpha \rangle$ где $\alpha=A,B$ .

Мой вопрос

Но тут я что-то неправильно понимаю.

Я согласен с тем, что мы можем рассматривать полное гильбертово пространство задачи как тензорное произведение гильбертовых пространств внутренних и внешних степеней свободы.

Но в то же время, если рассматривать состояние $|m,A\rangle$ , мы бы увидели гауссиану с центром в атоме $A$ в камере $m$ . А потом $|A\rangle$ будет гауссианом с центром в $0$ и $|m\rangle$ "сместит" его в положение $m$ верно ? Но если мы напишем все на $x$ основа имеем:

ψ (Икс) "=" ψ_{м} (Икс) ψ_{А} (Икс)

$\psi(x)=\psi_m(x) \psi_A(x)$ и это должно быть

0

$0$ за пределами поддержки

ψ_{A}

$\psi_A$ . И в качестве

ψ_{A}

$\psi_A$ является гауссианом с центром в

0

$0$ мы получили бы волновую функцию, которая везде равна нулю, если бы мы зашли достаточно далеко.

В чем моя ошибка в моем видении проблемы?

Разве это не $|m,A\rangle$ гаусс с центром в атоме $A$ то есть в клетке $m$ ? Если да, то что представляет собой кеты $|m\rangle$ и $|A\rangle$ физически (как выглядят эти волновые функции).

Кенни Х

Похоже, книга, которую вы упомянули, также доступна через arXiv.com. Вот ссылка, которую я нашел: arxiv.org/pdf/1509.02295.pdf

Ответы (3)

Одиночный электрон в цепочке из двух атомов: факторизация гильбертова пространства по внешним и внутренним степеням движения

Похоже, книга, которую вы упомянули, также доступна через arXiv.com. Вот ссылка, которую я нашел: arxiv.org/pdf/1509.02295.pdf

Эверетт Ю · Answer 1

неправильно писать $\psi(x)=\psi_m(x)\psi_A(x)$ . Правильная волновая функция $\psi_{mA}(x)$ который представляет государство $|m,A\rangle$ должно быть

ψ_{м А} (Икс) "=" е^{- м \partial_{Икс}} ψ_{А} (Икс) "=" (1 - м \partial_{Икс} + \frac{1}{2!} м^{2} \partial_{Икс}^{2} - \frac{1}{3!} м^{3} \partial_{Икс}^{3} + \dots) ψ_{А} (Икс) "=" ψ_{А} (Икс - м),

$\psi_{mA}(x)=e^{-m\partial_x}\psi_{A}(x)=\left(1-m\partial_x+\frac{1}{2!}m^2\partial_x^2-\frac{1}{3!}m^3\partial_x^3+\cdots\right)\psi_{A}(x) =\psi_{A}(x-m),$ где мы использовали формулу разложения Тейлора. Физически это можно понять, заметив, что

p = - i \partial_{x}

$p=-\text{i}\partial_x$ - оператор импульса, который генерирует перевод, и значение состояния

| m, A ⟩

$|m,A\rangle$ это просто пакет Гаусса

ψ_{A} (x)

$\psi_A(x)$ переводится как смещение

m

$m$ .

Тензорное произведение в $|m,A\rangle=|m\rangle\otimes|A\rangle$ не означает прямого умножения двух волновых функций. Это просто означает, что если вы рассмотрите следующую линейную суперпозицию, результат может быть расширен в базисе тензорного произведения как

(с_{м} | м ⟩ + с_{н} | н ⟩) \otimes (с_{А} | А ⟩ + с_{Б} | Б ⟩) "=" с_{м} с_{А} | м, А ⟩ + с_{м} с_{Б} | м, Б ⟩ + с_{н} с_{А} | н, А ⟩ + с_{н} с_{Б} | н, Б ⟩ .

$(c_m|m\rangle+c_n|n\rangle)\otimes(c_A|A\rangle+c_B|B\rangle)=c_mc_A|m,A\rangle+c_mc_B|m,B\rangle+c_nc_A|n,A\rangle+c_nc_B|n,B\rangle.$ Это то, что определяет структуру тензорного произведения в гильбертовом пространстве. Любую алгебраическую структуру, удовлетворяющую такому свойству бинлинейных отображений, можно назвать тензорным произведением. Вы можете видеть, что с точки зрения волновой функции следующая алгебраическая структура действительно является тензорным произведением

(с_{м} е^{- м \partial_{Икс}} + с_{н} е^{- н \partial_{Икс}}) \otimes (с_{А} ψ_{А} (Икс) + с_{Б} ψ_{Б} (Икс)) "=" с_{м} с_{А} ψ_{А} (Икс - м) + с_{м} с_{Б} ψ_{Б} (Икс - м) + с_{н} с_{А} ψ_{А} (Икс - н) + с_{н} с_{Б} ψ_{Б} (Икс - н) .

$(c_m e^{-m\partial_x}+c_n e^{-n\partial_x})\otimes(c_A \psi_A(x)+c_B \psi_B(x))=c_mc_A \psi_A(x-m)+c_mc_B \psi_B(x-m)+c_nc_A \psi_A(x-n)+c_nc_B \psi_B(x-n).$ В этом смысле операторы

e^{- m \partial_{x}}

$e^{-m\partial_x}$ образуют множество базисов внешнего гильбертова пространства, которое можно обозначить как

| m ⟩

$|m\rangle$ абстрактно. Волновая функция не связана с

| m ⟩

$|m\rangle$ , потому что

| m ⟩ = e^{- m \partial_{x}}

$|m\rangle=e^{-m\partial_x}$ в этом случае фактически представляется как линейный оператор.

Ну, а если кто-то настаивает на том, чтобы понять $|m\rangle$ состояние как волновая функция, одна из возможных интерпретаций состоит в том, чтобы рассматривать его как дельта-функцию Дирака, расположенную в $x=m$ (центр г. $m$ элементарная ячейка).

ψ_{м} (Икс) "=" дельта (Икс - м) .

$\psi_m(x)=\delta(x-m).$ Но тем не менее тензорное произведение

| m ⟩ \otimes | A ⟩

$|m\rangle\otimes|A\rangle$ не соответствует умножению волновых функций

ψ_{m} (x)

$\psi_m(x)$ и

ψ_{A} (x)

$\psi_A(x)$ вместе точечно. На самом деле это следует понимать как свертку двух волновых функций:

ψ_{м А} (Икс) "=" (ψ_{м} * ψ_{А}) (Икс) "=" \int г у ψ_{м} (у) ψ_{А} (Икс - у) "=" ψ_{А} (Икс - м) .

$\psi_{mA}(x)=(\psi_{m}*\psi_A)(x)=\int\text{d}y\psi_m(y)\psi_A(x-y)=\psi_A(x-m).$ Свертка также удовлетворяет алгебраическим свойствам тензорного произведения и, следовательно, является законным представлением тензорного произведения. Эта точка зрения тайно эквивалентна приведенной выше операторной точке зрения, потому что в функциональном анализе дельта-функция Дирака (или сдвинутая дельта-функция Дирака) фактически определяется как ядро тождественного оператора (или оператора перевода) .

Спасибо за ваш ответ. Но я думал, что в тензорном произведении гильбертова пространства каждый элемент должен быть интегрируемой функцией. Но, по-видимому, мы также позволяем операторам жить в одном из элементов тензорного произведения? Я этого не знал.
@StarBucK Ну, ваше понимание как раз соответствует простейшему случаю тензорного произведения. В глазах математиков тензорным произведением может быть все, что удовлетворяет универсальному свойству билинейных отображений. Поэтому мы должны смотреть на тензорное произведение с более высокой и общей точки зрения. Однако, если вы настаиваете на том, чтобы мыслить в терминах волновых функций, это тоже возможно. См. Приложенный раздел моего обновленного ответа.
Хм насчет вашего дописанного раздела для меня он противоречит постулатам скалярного произведения с тензорными произведениями. Действительно, мы определяем их как $\langle x , x' | \psi , \phi \rangle= \psi(x) \phi(x')$ . Таким образом, в этой части вы меняете этот постулат?
Просмотрев ваш ответ, я понял, что мой ответ ниже слишком нестрог....
@StarBucK Постулат $\langle x,x'|\psi,\phi\rangle=\psi(x)\phi(x')$ здесь не применяется к тензорному произведению. Постулат был сформулирован для случая тензорного произведения двух одночастичных волновых функций на двухчастичную волновую функцию, где $x$ и $x'$ – координаты обеих частиц соответственно. Но здесь у нас есть только одна частица, и у нее только одна координата. $x$ , поэтому в данном случае постулат бессмыслен.
@StarBucK Вывод состоит в том, что для разных реализаций тензорного произведения нам нужно принять разные формы постулата, например, $\langle m,x|n,A \rangle=\delta_{mn}\psi_{nA}(x+m)$ .

Кайт.Y · Answer 2

Хорошо, давайте посмотрим, хотите ли вы этого: рассмотрим общую позицию:

\begin{aligned} Икс "=" м \cdot а_{0} + \tilde{Икс} \end{aligned}

$\begin{align} x = m \cdot a_0 + \tilde{x} \end{align}$ и рассмотрим следующую базисную функцию:

\begin{aligned} ψ_{М} (Икс) \propto \sum_{м "=" 0}^{Н} дельта (м \cdot а_{0}) \\ \underset{Икс - \infty}{лим} & ψ_{А} (Икс) "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} &\psi_M(x) \propto \sum_{m = 0}^{N} \delta(m\cdot a_0) \\ \lim_{x-\infty}\quad& \psi_A(x) = 0 \end{align}$ тогда ваша волновая функция может быть записана как:

\begin{aligned} ψ (Икс) "=" ψ_{М} (м \cdot а_{0}) \otimes ψ_{А} (\tilde{Икс}) \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x) = \psi_M(m\cdot a_0)\otimes\psi_A(\tilde{x}) \end{align}$

Кенни Х · Answer 3

Кенни Х

Я думаю, что ваша проблема связана с непониманием того, что такое пространство состояний тензорного произведения, натянутое на основу $\{\lvert m,X \rangle\}$ где $m=1,2,3,4$ и $X=A,B$ , означает. Модель SSH, которую вы рассматриваете, определяется гамильтонианом, состояния которого охватываются этим тензорным произведением базисных векторов. В рамках этой модели государство $\lvert A \rangle$ не обязательно имеет какое-либо значение само по себе. Поэтому я считаю, что ваша интерпретация начала с состояния $\lvert A\rangle$ быть гауссианом, сосредоточенным на чем-либо, неверно. Это состояние само по себе не имеет значения. В рамках этой модели состояния должны быть заданы полным тензорным произведением.

СтарБак

Спасибо за ваш ответ. Хотя я не уверен, что понимаю. Если у меня есть тензорное произведение состояний, я всегда могу спроецировать его на

⟨ x, x^{'} |

$\langle x, x'|$ . Таким образом

⟨ x, x^{'} | m, X ⟩ = ⟨ x | m ⟩ ⟨ x^{'} | X ⟩ = ψ_{m} (x) ψ_{X} (x^{'})

$\langle x,x' |m,X\rangle=\langle x | m \rangle \langle x' | X \rangle = \psi_m(x) \psi_X(x')$ . Таким образом я не понимаю

Кенни Х

Вы совершенно правы в том, что всегда можете спроецировать тензорное произведение состояний на что угодно. Проблема в вашем первом объяснении проблемы, когда вы думаете о ней как о начале с

| A ⟩

$\lvert A\rangle$ а затем сдвинув его, указав

| m ⟩

$\lvert m\rangle$ . Штаты

| A ⟩

$\lvert A \rangle$ и

| m ⟩

$\lvert m \rangle$ не имеют смысла сами по себе, поскольку пространство состояний модели является их тензорным произведением. Это помогает?

СтарБак

Так что вы имеете в виду, что это действительно

| A ⟩

$|A\rangle$ имеет заданную волновую функцию, но это не физический смысл, который я думаю о гауссовском центре. Это действительно функция на

R

$\mathbb{R}$ но что-то, что трудно иметь физическую интуицию. В отличие от

| m, A ⟩

$|m,A\rangle$ что действительно можно рассматривать как гауссовский центр на атоме

A

$A$ в камере

m

$m$ . Это то, что вы имели ввиду ?

Кенни Х

Нет. В этой модели пространство состояний представляет собой тензорное произведение

| m ⟩ \otimes | X ⟩

$\lvert m\rangle \otimes \lvert X\rangle$ . Вы должны указать обе части тензорного произведения, чтобы выбрать состояния в пространстве состояний этой модели. Вектор состояния

| A ⟩

$\lvert A \rangle$ не имеет смысла сам по себе, и нет смысла говорить о его волновой функции.

Одиночный электрон в цепочке из двух атомов: факторизация гильбертова пространства по внешним и внутренним степеням движения

СтарБак

Кенни Х

Ответы (3)

Эверетт Ю

СтарБак

Эверетт Ю

Эверетт Ю

СтарБак

Кайт.Y

Эверетт Ю

Эверетт Ю

Кайт.Y

Кенни Х

СтарБак

Кенни Х

СтарБак

Кенни Х

Ожидаемое значение ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle с использованием теоремы Хеллмана – Фейнмана

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

Как оператор применяется к волновой функции в квантовой механике? [закрыто]

Можно ли восстановить гамильтониан, зная его волновую функцию основного состояния?

«Хорошие состояния» в вырожденной теории возмущений

Действительно ли гамильтонов оператор временной эволюции изменяет состояние системы?

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Всегда ли основное состояние в КМ уникально? Почему?

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?