Какая результирующая радиальная сила вызывает круговое движение точечной массы, катящейся по сфере, находящейся на поверхности Земли?

Question

Какая результирующая радиальная сила вызывает круговое движение точечной массы, катящейся по сфере, находящейся на поверхности Земли?

силы
Физика
векторы
диаграмма свободного тела
ньютоновская механика

эвианпрринг

Рассмотрим твердый шар без трения на поверхности Земли. Рассмотрим точечную массу на вершине сферы. Сфера имеет лишь небольшую начальную скорость, так что она начинает двигаться вниз по сфере.

Гравитационная сила направлена к центру Земли и имеет составляющие вдоль тангенциального и радиального направлений траектории точечной массы.

Ф_{г} "=" - м г потому что θ \hat{р} + м г грех θ \hat{θ}

$F_g=-mg\cos{\theta}\ \hat{r}+mg\sin{\theta}\ \hat{\theta}$

Давайте измерим $\theta$ как угол, образованный с вертикальным диаметром сферы, так что точка массы начинается в $\theta=0$ .Как $\theta$ увеличивается, увеличивается тангенциальная составляющая силы тяжести и уменьшается радиальная составляющая.

Существует также нормальная сила от поверхности сферы к точечной массе. Насколько я могу судить, его величина $mg\cos{\theta}$ и это реакция на силу, которую точечная масса прикладывает к сфере в результате радиальной составляющей силы тяжести и, таким образом, полностью компенсирует последнюю.

Но поскольку точечная масса движется по круговой траектории (хотя бы некоторое время), она должна иметь результирующую силу, имеющую составляющую в радиальном направлении к центру сферы, изменяющую направление векторов ее скорости. Я не могу понять, как примирить тот факт, что нормальная сила и радиальная гравитационная сила компенсируют друг друга, и тот факт, что существует сила, создающая радиальное ускорение.

Я предполагаю, что движение в этом случае вызвано тем, что тангенциальная сила меняет направление. Это так? Я думаю, что это, вероятно, похоже или аналогично анализу маятника, но я еще этого не делал.

ЧашаКрасного

Откуда вы знаете, что нормальная сила

m g \cos θ

$mg\cos \theta$ ? Как это согласуется с тем фактом, что объект в конце концов покинет сферу (и, таким образом, станет нулем)?

эвианпрринг

Радиальная составляющая силы тяжести уменьшается по мере того, как

θ

$\theta$ увеличивается. Пока точка движется по круговой траектории, она имеет радиальное ускорение

- \frac{v^{2}}{r}

$-\frac{v^2}{r}$ . Используя 2-й закон Ньютона, мы можем найти силу, необходимую для создания такого ускорения. В начале движения радиальная сила выше такой требуемой радиальной силы, но в какой-то момент радиальная сила меньше силы, необходимой для сохранения исходной круговой траектории. В этот

θ

$\theta$ объект покидает сферу.

эвианпрринг

Как я упоминал в вопросе, насколько я могу судить, нормальная сила получается с использованием 3-го закона Ньютона вместе с радиальной составляющей гравитационной силы, которая равна

m g \cos θ

$mg\cos{\theta}$ .

ЧашаКрасного

Но объект ускоряется. Таким образом, вы не можете предположить, что нормальная сила отменяет силу гравитации.

эвианпрринг

Я разложил гравитационную силу на тангенциальную и радиальную составляющие. Я сказал, что нормальная сила компенсирует радиальную составляющую. Тангенциальная составляющая гравитационной силы ускоряет объект.

ЧашаКрасного

Нормальная сила не отменяет радиальную составляющую. Вот как объект способен радиально ускоряться.

эвианпрринг

Я вижу, что почему-то то, что вы говорите, должно быть правдой, но мой вопрос в том, как объяснить это более подробно? Когда я разлагаю гравитационную силу, радиальная составляющая направлена прямо в сферу. Почему сфера не приложила бы силу в противоположном направлении и равной величине?

Ответы (2)

Какая результирующая радиальная сила вызывает круговое движение точечной массы, катящейся по сфере, находящейся на поверхности Земли?

Откуда вы знаете, что нормальная сила $mg\cos \theta$ ? Как это согласуется с тем фактом, что объект в конце концов покинет сферу (и, таким образом, станет нулем)?
Радиальная составляющая силы тяжести уменьшается по мере того, как $\theta$ увеличивается. Пока точка движется по круговой траектории, она имеет радиальное ускорение $-\frac{v^2}{r}$ . Используя 2-й закон Ньютона, мы можем найти силу, необходимую для создания такого ускорения. В начале движения радиальная сила выше такой требуемой радиальной силы, но в какой-то момент радиальная сила меньше силы, необходимой для сохранения исходной круговой траектории. В этот $\theta$ объект покидает сферу.
Как я упоминал в вопросе, насколько я могу судить, нормальная сила получается с использованием 3-го закона Ньютона вместе с радиальной составляющей гравитационной силы, которая равна $mg\cos{\theta}$ .
Но объект ускоряется. Таким образом, вы не можете предположить, что нормальная сила отменяет силу гравитации.
Я разложил гравитационную силу на тангенциальную и радиальную составляющие. Я сказал, что нормальная сила компенсирует радиальную составляющую. Тангенциальная составляющая гравитационной силы ускоряет объект.
Нормальная сила не отменяет радиальную составляющую. Вот как объект способен радиально ускоряться.
Я вижу, что почему-то то, что вы говорите, должно быть правдой, но мой вопрос в том, как объяснить это более подробно? Когда я разлагаю гравитационную силу, радиальная составляющая направлена прямо в сферу. Почему сфера не приложила бы силу в противоположном направлении и равной величине?

ЧашаКрасного · Answer 1

Насколько я могу судить, величина [нормальной силы] равна $mg \cos \theta$ и это реакция на силу, которую точечная масса прикладывает к сфере в результате радиальной составляющей силы тяжести и, таким образом, полностью компенсирует последнюю.

Весы в лифте, ускоряющемся вниз, измеряют нормальную силу от пола. Это сила реакции на гравитационное притяжение человека. Но он не имеет величины $mg$ . Разница между ним и $mg$ обеспечивает нисходящее ускорение человека.

Почему сфера не приложила бы силу в противоположном направлении и равной величине?

Оно делает. Просто ни одна из этих сил не равна радиальной составляющей $mg$ .

Зная путь (окружность сферы) и скорость (может быть рассчитана с помощью энергетических аргументов), вы знаете ускорение. Учитывая чистое ускорение, вы можете рассчитать результирующую силу. Учитывая постоянную $mg$ , можно определить нормальную силу. Когда нормальная сила достигает нуля, объект больше не может оставаться на сфере и уходит по баллистической траектории.

Несколько вещей в вашем ответе оставили меня в сомнении. Во-первых, я полагаю, вы имеете в виду весы в лифте с человеком на них. Когда лифт останавливается, человек давит на весы с огромной силой. $mg$ , а это равно величине нормальной силы, действующей на человека. Если лифт движется вниз с ускорением, мы должны предположить, что он «приклеен» к шкале и, таким образом, прикладывает к шкале направленную вниз силу. Нормальная сила теперь равна разнице между $mg$ и эта нисходящая сила.
Вы утверждали, что ни нормальная сила, ни радиальная сила, приложенная точечной массой к сфере, не равны радиальной составляющей $mg$ . И исходный вопрос: «Какова результирующая радиальная сила ...». Итак, можете ли вы показать мне расчет, который вы просто описали словами, для расчета чистой силы?
Я бы предположил ускорение и вычислил результирующую силу непосредственно из него. См. расчеты на physics.stackexchange.com/questions/262282/…

эвианпрринг · Answer 2

Масса частицы, совершающая круговое движение по сфере, подчиняется следующим уравнениям 2-го закона

\begin{matrix} (1) & Н - м г потому что θ "=" - \frac{в^{2}}{р} \end{matrix}

$N-mg\cos{\theta}=-\frac{v^2}{R}\tag{1}$

Из энергосбережения мы знаем

\frac{м в^{2}}{2} - м г р (1 - потому что θ) "=" 0

$\frac{mv^2}{2}-mgR(1-\cos{\theta})=0$

\begin{matrix} (2) & в "=" \sqrt{2 г р (1 - потому что θ)} \end{matrix}

$v=\sqrt{2gR(1-\cos{\theta})}\tag{2}$

Вставляем эту скорость в $(1)$

Н "=" м г потому что θ - \frac{2 м г р (1 - потому что θ}{р}

$N=mg\cos{\theta}-\frac{2mgR(1-\cos{\theta}}{R}$

Н "=" м г (3 потому что θ - 2)

$N=mg(3\cos{\theta}-2)$

Мы видим, что нормальная сила обращается в нуль, когда $\cos{\theta}=\frac{2}{3}$ .

Давайте рассмотрим

м "=" 1 к г

$m=1kg$

г "=" 9,8 м \cdot с^{- 2}

$g=9.8m \cdot s^{-2}$

И постройте нормальную силу и радиальную гравитационную силу как функцию $\theta$

В радиальном направлении величина ускорения увеличивается в $\theta$ (поскольку скорость увеличивается в $\theta$ ), но имеет отрицательный знак.

Радиальная гравитационная сила уменьшается, и если рассматривать это как данность, то нормальная сила должна уменьшаться еще быстрее, чтобы уравновесить уравнение 2-го закона, т. е. разница между нормальной и радиальной гравитационной силой должна уменьшаться пропорционально радиальному ускорению. увеличивать.

В какой-то момент ( $\theta=\cos^{-1}{\frac{2}{3}}$ ) нормальная сила достигает нуля. Поскольку в этой установке оно не может стать отрицательным, результирующей силы в этом радиальном направлении недостаточно, чтобы удержать массу частицы на круговой траектории с этой скоростью и радиусом (эквивалентно этому радиальному ускорению).

В дополнение, что произойдет, если масса частицы все еще скользит по сфере, но она будет прикреплена к безмассовой струне, закрепленной в центре сферы (которая может каким-то образом оставаться прикрепленной к частице, когда она скользит вниз).

У нас была бы дополнительная сила, действующая параллельно и в том же направлении, что и радиальная составляющая гравитационной силы. Эта сила представляет собой силу натяжения струны. Но будет ли это дополнительной силой или она просто заменит то, что раньше было обычной силой?

Я считаю, что у нас был бы случай, когда $T=0$ от $\theta=0$ к $\theta=\cos^{-1}{\frac{2}{3}}$ а потом $T$ начнет увеличиваться. Это просто предыдущий анализ, но в котором $N$ может быть отрицательным. отрицательный $N$ было бы $T$ требуется, чтобы частица двигалась по круговой траектории.

- Т - м г потому что θ "=" - 2 м г (1 - потому что θ), θ > {потому что}^{- 1} \frac{2}{3}

$-T-mg\cos{\theta}=-2mg(1-\cos{\theta}),\ \theta>\cos^{-1}{\frac{2}{3}}$

Т "=" м г (2 - 3 потому что θ)

$T=mg(2-3\cos{\theta})$

Мы можем видеть, что для $\theta=\pi$

Т "=" 5 м г

$T=5mg$

Какая результирующая радиальная сила вызывает круговое движение точечной массы, катящейся по сфере, находящейся на поверхности Земли?

эвианпрринг

ЧашаКрасного

эвианпрринг

эвианпрринг

ЧашаКрасного

эвианпрринг

ЧашаКрасного

эвианпрринг

Ответы (2)

ЧашаКрасного

эвианпрринг

эвианпрринг

ЧашаКрасного

эвианпрринг

Когда человек тянет или толкает тележку, почему его телу выгодно наклоняться вперед?

Блок на наклонной плоскости

Почему я получаю два результата из одной диаграммы свободного тела?

Как мы можем доказать, что сила, направленная вниз немассовой веревкой на шкив, вокруг которого она обернута, равна 2T2T2T?

Разделение натяжения нити в маятнике и последующий расчет с весом

Как выбрать между векторами и их компонентами?

Силы и точка приложения

Отображается ли результирующая сила условно на диаграмме свободного тела?

Равновесие вращающихся тел - неуравновешивающие вертикальные силы?

Вертикальная составляющая трения