Какая симметрия соответствует сохранению положения?

В природе нет этой симметрии, потому что ваш закон сохранения тоже не работает. Согласно закону инерции, объект продолжает двигаться с постоянной скоростью, которая, однако, в общем случае отлична от нуля. В своей собственной системе отсчета она равна нулю, но в других системах отсчета скорость отлична от нуля.

Если изучать движение центра масс, то он действительно движется с постоянной скоростью. Таким образом, сохраняющаяся величина, ближайшая к вашему «сохраняющемуся положению», — это сохраняющаяся скорость центра масс. Этот закон сохранения напрямую связан посредством теоремы Нётер с лоренцевой симметрией законов физики или, в нерелятивистском пределе, с галилеевой симметрией. В нерелятивистском случае генератор галилеевой симметрии равен$\vec x_{\rm cm}$, положение центра масс, действительно: генератором симметрии является сама сохраняющаяся величина.

Если бы вы разработали законы расточки, в которых положение должно сохраняться, симметрия создавалась бы сохраняющейся величиной.$\vec x$. Этот генератор симметрии генерирует трансляции в импульсном пространстве. Таким образом, законы физики (гамильтониан) должны были бы эффективно не зависеть от импульса. Это было бы очень плохо: вы не могли бы, среди прочего, включить в общую энергию член кинетической энергии. Это связано с тем, что частицы будут иметь «бесконечную инерционную массу», которая заставит их сидеть в одной точке. Весь термин «динамика» был бы своего рода оксюмороном, потому что вещи не менялись бы со временем.

Приложение

Считайте генератор равным положению центра масс

$$\vec x_{\rm cm} = \frac{m_1 \vec x_1 + m_2 \vec x_2 +\dots +m_N \vec x_N}{m_1+m_2+\dots +m_N}$$ Как физические наблюдаемые трансформируются под действием порожденной им симметрии? Вычислите коммутаторы. Коммутаторы позиции выше с позициями $x_i$исчезают, поэтому позиции (в $t=0$) не трансформироваться. Однако коммутатор с $p_i$равно $m_i \delta_{mn} / M_{\rm total}$, а если это добавить к $p_i$с бесконечно малым коэффициентом $\vec \epsilon \cdot M_{\rm total}$, вы видите, что все скорости меняются на $$\vec v_i \to \vec v_i + \vec \epsilon$$ Но если все скорости просто сдвинуты на константу, это преобразование Галилея. подчеркну, что это простое правило преобразования выполняется только при $t=0$. Для $t\neq 0$, пришлось бы добавить дополнительные члены, пропорциональные $t$генератору (они были бы аналогичны и для лоренцевской симметрии), а именно $t\cdot \vec P_{\rm total}$. Во всяком случае, положение центра масс является генератором преобразований Галилея, преобразований, переключающих одну инерциальную систему в близлежащую инерциальную систему (которая движется со скоростью, отличающейся на $\delta \vec v$).

Обратите внимание, что коммутатор$\vec x_{\rm cm}$с гамильтонианом не совсем равен нулю, поэтому, согласно некоторым определениям, это не симметрия. Вместо этого коммутатор пропорционален полному импульсу$\vec p$что само по себе является симметрией. Таким образом, коммутаторы различных генераторов порождают другие генераторы — стандартную форму алгебры Ли (в данном случае галилеевой/лоренцевой), в которой гамильтониан не обязательно коммутирует со всеми остальными, но является одним из генераторов неабелевой группы.

1) ОП написал:

Какая симметрия соответствует сохранению положения?

Для гамильтоновой системы можно формально поменять местами роли$q^i$и импульсы$p_i$через каноническое преобразование

$$Q^i ~=~ p_i , \qquad P_j~=~ - q^j .$$

Таким образом, в гамильтоновых системах то, что вы называете позициями, а что вы называете импульсами, зависит от вас.

Теперь я предполагаю, что OP знаком с утверждением , что трансляционная симметрия в позиционном пространстве$q^i\to q^i+a^i$приводит к сохранению импульса (на классическом уровне).

К$q\leftrightarrow p$симметрии, тогда можно утверждать, что трансляционная симметрия в импульсном пространстве$p_i\to p_i+a_i$приводит к сохранению позиции (на классическом уровне).

2) ОП писал далее:

Теперь, если положение частицы не меняется, то положение частицы является сохраняющейся величиной. Какая симметрия соответствует сохранению положения в этом случае?

Следует различать симметрию действия и спонтанную симметрию, т. е. симметрию состояния , в котором находится система. Теорема Нётер применима только к первой ситуации. Например, свободная частица$H=\frac{{\bf p}^2}{2m}$может случайно находиться в состоянии покоя (относительно некоторой системы отсчета), хотя с ним не связана трансляционная симметрия в импульсном пространстве.