Какие эрмитовы операторы могут быть наблюдаемыми?

Мы можем построить эрмитов оператор О следующим общим образом:

  1. найти полный комплект проекторов п λ которые ездят на работу,
  2. присвойте каждому проектору уникальный реальный номер λ е р .

Таким образом, каждый проектор определяет собственное пространство оператора О , а соответствующие собственные значения - действительные числа λ . В частном случае, когда собственные значения невырождены, оператор О имеет вид

О знак равно ∑ λ λ | λ ⟩ ⟨ λ |

Вопрос: какие ограничения препятствуют О от наблюдаемого известны?

Например, мы не можем допустить в качестве наблюдаемых эрмитовы операторы, имеющие в качестве собственных состояний суперпозиции, запрещенные правилами суперотбора.

а) Где я могу найти исчерпывающий список правил суперотбора?

б) Существуют ли другие правила?

Обновлять:

в) Является ли частный случай, когда гильбертово пространство является тензорным произведением двух гильбертовых пространств (представляющих две квантовые системы), особенным с этой точки зрения?

Правило суперотбора — это когда ни один локальный оператор не может связать два состояния. Это точно так же, как в статистической механике у вас есть нулевая вероятность совершить макроскопическое движение. Исчерпывающего списка не существует, поскольку любой вакуумный конденсат, который нарушает точную симметрию или создает модуль SUSY, автоматически становится создателем сектора суперотбора.
Как наблюдение (простите за каламбур), тождественный оператор является эрмитовым с вырожденным собственным значением, равным 1. Каждый вектор является собственным вектором, и любой выбранный может быть включен в ортонормированный базис. Таким образом, без ограничений, которые вы ищете, казалось бы, каждое состояние будет наблюдаемым (я думаю?)

Ответы (2)

Я думаю, что фундаментальным объектом квантовой механики является не гильбертово пространство и операторы в нем, а C*-алгебра наблюдаемых. В этой картине гильбертово пространство появляется как представление алгебры. Разные неприводимые представления — это разные сектора суперотбора. Таким образом, ответ на вопрос «какой оператор является наблюдаемым» прост: наблюдаемые операторы — это те, которые происходят из алгебры. Действительно, лучше думать о наблюдаемых как о самосопряженных элементах алгебры, а не как об операторах.

Вы можете спросить, откуда мы взяли алгебру. Ну, это уже должно обеспечиваться конкретной моделью. Для квантовомеханической частицы, движущейся по многообразию М , C*-алгебра состоит из всех ограниченных операторов на л 2 ( М ^ ) поездка с π 1 ( М ) куда М ^ является универсальным покрытием М . Сектора суперотбора соответствуют неприводимым представлениям π 1 ( М ) . Для КТП проблема построения алгебры наблюдаемых в целом открыта, однако некоторые случаи (такие как свободная КТП и, я думаю, также рациональная КТП) были решены. Подход, подчеркивающий точку зрения алгебры, - это аксиоматическая КТП Хаага-Кастлера.

С точки зрения деформационного квантования квантовая алгебра наблюдаемых есть некоммутативная деформация алгебры непрерывных (скажем) функций на классическом фазовом пространстве. Эта точка зрения не является фундаментальной, но она полезна. Например, это позволяет понимать различные значения спина и различную квантовую статистику как секторы суперотбора.

Без правил суперотбора, ограничивающих наблюдаемые, любой эрмитов оператор является допустимой наблюдаемой. Случай множественных идентичных систем очень важен. Действительно, если системы действительно идентичны, то допустимы только наблюдаемые, симметричные относительно замены систем. В таком случае, технически говоря, вы должны рассматривать только те наблюдаемые, которые коммутируют со всеми возможными операторами перестановок (т. е. с элементами представления группы перестановок в гильбертовом пространстве систем).

Спасибо за ответ. Действительно, для тождественных частиц в качестве гильбертова пространства берется частное тензорного произведения на соответствующий идеал. Знаете ли вы какие-нибудь библиографические ссылки, показывающие, что единственными ограничениями для наблюдения эрмитова оператора являются только эти?
Вы можете ввести другие правила суперотбора, обычно основанные на некоторой симметрии, не обязательно обменной симметрии (это применимо только для систем с несколькими частицами). Я не могу рекомендовать ссылку, основанную на моих непосредственных знаниях, но я бы сказал, что вы можете начать с rmp.aps.org/abstract/RMP/v79/i2/p555_1.
Какие эрмитовы операторы могут быть наблюдаемыми?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v