Наблюдаемый оператор на суперпозиции?

Однако кет-векторы, состоящие из суперпозиций, имеют несколько возможных собственных значений. Это наводит меня на мысль, что это уравнение справедливо только для собственных состояний, являющихся базисными состояниями.

Уравнение

$$\begin{align} \hat A|\Psi\rangle = a|\Psi\rangle \end{align}$$ выполняется только для собственных векторов оператора $\hat A$. В общем случае существует математическая теорема, спектральная теорема, утверждающая, что для любого эрмитова (самосопряженного) оператора $\hat A$действующий в гильбертовом пространстве $\mathcal H$, существует базис гильбертова пространства, составленный из собственных векторов $\hat A$. Это говорит нам о том, что любой вектор $|\psi\rangle$в гильбертовом пространстве можно записать как линейную комбинацию собственных векторов любой данной наблюдаемой. Скажем, например, что базис собственных векторов, соответствующих наблюдаемым $\hat A$обозначается $\{|a_1\rangle, |a_2\rangle, \dots\}$где вектор $|a_i\rangle$имеет собственное значение $a_i$. Тогда для любого состояния $|\psi\rangle$в гильбертовом пространстве мы можем написать $$\begin{align} |\psi\rangle = \sum_i c_i|a_i\rangle \end{align}$$

предполагается ли каким-то образом, что каждое базовое состояние в базисе позиции соответствует одному собственному энергетическому состоянию?

Нет. Собственное состояние одного оператора не обязательно является собственным состоянием другого оператора. Однако если два оператора коммутируют, то можно найти базис гильбертова пространства, состоящего из векторов, являющихся собственными состояниями обоих операторов (мы обычно называем эти состояния «одновременными собственными состояниями» двух операторов).

Есть ли какая-либо полезная интерпретация умножения собственного набора на его собственное значение, как показано в приведенном выше наблюдаемом уравнении?

Я не уверен, что именно вы здесь ищете, но один факт заключается в том, что если$|\Psi\rangle$удовлетворяет уравнению на собственные значения, и если система подготовлена ​​в таком состоянии, то измерение наблюдаемой$\hat A$вернет соответствующее собственное значение с вероятностью$1$.

В качестве последнего вопроса, есть ли какая-либо полезная интерпретация умножения собственного набора на его собственное значение, как показано в приведенном выше наблюдаемом уравнении?

Это математика, которая описывает идею, что$\langle \Psi \vert A \vert \Psi \rangle = \langle A \rangle$- ожидаемое значение наблюдаемой величины, связанной с$A$когда система находится в состоянии$\Psi$.

Использование расширения @joshphysic по собственным векторам

$$\langle \Psi \vert A \vert \Psi \rangle = \sum_{ij} c_i c_j^* a_i a_j \langle a_j \vert a_i \rangle = \sum_i \vert c_i \vert^2 a_i$$ где окончательное выражение возникает из-за того, что собственный базис ортонормирован.

Окончательное выражение — это просто средневзвешенное значение оператора.