Вопрос о голономных ограничениях

Это фундаментальный результат$^1$в теории вложенных дифференцируемых подмногообразий, что они могут быть эквивалентно описаны

• локально$^2$как параметризованное подмногообразие/граф,

• или локально как ограниченное подмногообразие.

Пример: эллипс в 2D-плоскости может быть описан параметризацией$(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$или через ограничение$(x/a)^2+(y/b)^2=1$.

В зависимости от применения оба описания могут быть полезны. Часто проще всего использовать описание с как можно меньшим числом переменных. Если одно из описаний не выполняется, это означает, что некоторые из технических условий регулярности (которые в основном неявно предполагаются Гольдштейном) не выполняются, ср. например , это и это сообщения Phys.SE.

--

$^1$Этот результат включен в любой приличный учебник по дифференциальной геометрии (ДГ). (См., например, Предложение 3.2.1 в Бен Эндрюс, Лекции по DG .) Основным инструментом в его доказательстве является теорема об обратной функции .

$^2$Слово «локально» здесь означает «в открытом районе».

Я понимаю это так:

Пример: одна частица с координатами сферы (параметр$r\,,\theta\,,\varphi$)

$$\vec{R}=\left[ \begin {array}{c} x\\ y\\ z\end {array} \right] =\left[ \begin {array}{c} r\cos \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) \\ r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) \\ r\cos \left( \varphi \right) \end {array} \right]\tag 1$$

мы можем решить уравнение (1) для$r\,,\theta\,,\varphi$

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag 2$$ $$\theta=\arctan(x/y)\tag 3$$ $$\varphi=\frac{z}{x^2+y^2}\tag 4$$

уравнение связи

$$r^2-l^2\cos^2(\varphi)\cos(\theta)=0\tag 5$$

теперь мы можем выбрать обобщенные координаты:

если мы решим уравнение (5) относительно$r$то получаем (3)$\quad q_1(x,y)=\theta$и (4)$\quad q_2(x,y,z)=\varphi$

если мы решим уравнение (5) относительно$\theta$то получаем (2)$\quad q_1(x,y,z)=r$и (4)$\quad q_2(x,y,z)=\varphi$

и

если мы решим уравнение (5) относительно$\varphi$то получаем (2)$\quad q_1(x,y,z)=r$и (3)$\quad q_2(x,y)=\theta$

мы получаем всегда уникальный результат для$q_1(x,y,z)$и$q_2(x,y,z)$и мы использовали «инверсию» вектора положения и уравнения с ограничениями.

Я думаю , что автор просто имеет в виду «они» как числа, которые у вас есть для разных переменных.$Q=\{q_i\}$тогда как вы правы, что эти числа имеют смысл только в этом контексте через их параметризацию$\mathbf r_i(Q)$и если вы понимаете предложение таким образом, оно выражает тавтологию, и никакой дополнительной информации не требуется.

С учетом сказанного, если у вас действительно простая система, вероятно, есть некоторые вырожденные случаи, когда только уравнения для этих параметров необратимы без полного знания ограничений. Например, у нас могут быть две частицы, живущие в 2D, одна вынуждена жить на прямой.$x=0$а другой вынужден жить на линии$y=0$, и пусть они соединены пружиной с длиной покоя$\ell$. Мы знаем, что можем описать эту систему с двумя переменными$(x, y)$и отображение из$(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \mapsto (x, y)$будет

$$\big([x_1, y_1], [x_2, y_2]\big) \mapsto (x_1, y_2)$$ но обнаружив, что$x_2=0, y_2=0$прямо невозможно только с учетом этой функции; это не обратимо.

Но с учетом сказанного, это действительно несколько неестественный способ описать описание. Чем более естественным$\mathbf r_i(Q)$способ действительно указать

$$\mathbf r_1(x, y) = [x, 0]\\\mathbf r_2(x, y) = [0, y]$$ и это действительно включает в себя ограничения, и поэтому не требуется никаких дополнительных ссылок на ограничения для использования$x,y$для определения позиций.

Отвечать

Нам нужно k уравнений ограничений, потому что нам нужно найти 3N переменных, и у нас нет 3N независимых уравнений координат, а только 3N-K (из q3N-k), k ограничений (вспоминая, что ограничения являются отношениями между переменными положения (и, возможно, временем ) . ) Классическая механика Гольдштейна 3ЭД стр. 12) предоставит набор k уравнений, которые вместе с 3N-K уравнений независимых координат образуют набор, делающий систему однозначно детерминированной (количество уравнений равно количеству неизвестных переменных).

ОБС:

локальное пространство - это пространство-время Минковска, поэтому требуется координата времени. Наша задача сводится к тому, чтобы найти 3 координаты локального пространства для каждой частицы.

как мы имеем дело с двумя системами пространства (локальной и обобщенной) нам нужно будет гарантировать обратное преобразование, обратное преобразование обеспечивается в голономной системе.

Голономная система определяется в отличие от определения неголономной системы, данного Герцем (неголономные системы - это системы, в которых кинематические условия задают только отношения между дифференциалами координат, а не как конечные отношения между самими координатами), следовательно, голономная система системы всегда имеют интегрируемые дифференциальные функции ∂F/(∂qi )dqi (i = 1 до 3N-k), допускающие обратное преобразование.

Вспоминая - В голономной системе k ограничений приводит к сведению к 3N-k независимым координатам или, что эквивалентно, к rN функциям с k неявными ограничениями (Классическая механика Гольдштейна 3ED, стр. 13), Следовательно, rN функций не линейно независимы, но эквивалентны 3N- k система линейно независимых уравнений в обобщенном пространстве qi. Ограничения k позволяют исключить зависимые переменные.