Каким предположениям должны удовлетворять CCC, PPP и TTT?

Я не прошу доказательств С п Т теорема. Я спрашиваю, как С п Т теорему можно даже определить.

Как матрицы в О ( 1 , 3 ) , Т и п просто

Т знак равно ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) п знак равно ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 )
Они удовлетворяют определенным свойствам. Во-первых, в качестве матриц, Т 2 знак равно 1 , п 2 знак равно 1 . (Поэтому любой гомоморфизм О ( 1 , 3 ) также должны удовлетворять этому свойству.) Работая с этими матрицами, можно показать, что повороты в с о ( 1 , 3 ) ездить с Т в то время как повышает анти-коммутируют с Т и п . Это всего лишь определение Т и п как элементы в О ( 1 , 3 ) .

В квантовой теории поля мы требуем, чтобы наше гильбертово пространство содержало (проективное) представление С О + ( 1 , 3 ) , куда С О + ( 1 , 3 ) — специальная ортохронная группа Лоренца, т. е. часть С О ( 1 , 3 ) связано с личностью. (Другими словами, нам нужно истинное представление С п я н ( 1 , 3 ) .) Мы можем определить, как локальные операторы О α ( Икс ) преобразовать с помощью конъюгации. А именно, для всех Λ ~ е С п я н ( 1 , 3 ) , мы хотим

U ( Λ ~ ) О α ( Икс ) U ( Λ ~ ) − 1 знак равно Д α β ( Λ ~ ) О β ( Λ Икс )
куда Λ е С О ( 1 , 3 ) является соответствующим элементом Λ ~ и Д α β должно быть представлением С п я н ( 1 , 3 ) .

Это отличный способ делать вещи. Наши требования к U и О α имеют физическую мотивацию, и это ставит перед нами задачу: найти представления о С п я н ( 1 , 3 ) и определить из них квантовые поля.

Чего этот подход не предлагает, на первый взгляд, так это того, как включить Т или п , не говоря уже о С . Мы знаем, что мы не можем просто искать гомоморфизмы групп из О ( 1 , 3 ) операторы в нашем гильбертовом пространстве, потому что все мы знаем, что п ^ 2 знак равно 1 не обязательно должно быть верным в квантовой теории поля. Какие физически мотивированные математические требования мы должны предъявлять? С , п , и Т что должно «определить» их (в подходящем смысле) для различных построенных нами гильбертовых пространств. Вступление к С особенно сбивает с толку, потому что требует от нас поменять местами состояния частицы и состояния античастицы, но такие состояния обычно определяются словами (т. е. это частица, это античастица, вот как они работают...). После предъявления надлежащих требований к С , п , и Т , то по идее нужно уметь доказывать С п Т теорема, показать Т должен быть антиунитарным и т. д. Я знаю, что это большой вопрос, поэтому ссылки, в которых обсуждаются эти тонкости, также будут оценены.

Эти определения можно найти, например, в книге Стритера и Вайтманна "PCT, спин и статистика и все такое".
Вам следует рассмотреть возможность включения этого и подобных комментариев в полный ответ. Мой вопрос, я полагаю, просто "что" п С и Т . Например, как-то п переключал бы левые/правые спиноры Вейля в поле Дирака. У меня сложилось впечатление, что все это можно реализовать как линейные/антилинейные операторы в пространстве состояний, удовлетворяющие определенным условиям. Многие учебники QFT создают такое впечатление, учитывая γ 5 как своего рода п оператор. Также у меня было много проблем с «ПКТ и все такое», это кажется слишком сложным и затянутым. Должен быть какой-то другой хороший источник на п С Т .
И конечно, п С и Т должны существовать сами по себе в той или иной форме. Ведь люди всегда охотятся за С п -нарушение. Что бы это значило именно для С п быть нарушенным? Почему можно С п быть нарушены, но не С п Т ? Что мешает мне сделать С п Т -нарушение лагранжиана? Я просто ищу рабочие определения С п и Т и у меня проблемы с чтением стандартных учебников.
Я удалил ответ, который был опубликован в виде строки комментариев. @ValterMoretti, если вы хотите получить доступ к этому тексту, пока вы пишете свой ответ, дайте мне знать, и я могу скопировать их в чат.
Нет проблем, я слишком занят, чтобы участвовать в каком-либо обсуждении.

Ответы (2)

Физики-математики скажут вам, что вопрос, который вы задаете, не имеет ответа: строгое определение есть только у СРТ в целом. Это значит, что физики-практики, рассматривающие конкретные задачи, вольны определять ее как хотят! Так что, хотя я не разбираюсь в математических тонкостях, позвольте мне изложить то, что, по моему мнению, физики элементарных частиц обычно имеют в виду, когда говорят «преобразование P/C/T».

Частицы и античастицы

Напомним, что квантовое поле имеет общее модовое расширение

ψ ^ ( Икс ) знак равно ∑ п , с а п , с ты с ( п ) е − я п Икс + б п , с † в с ( п ) е я п Икс
куда п обозначает импульс и с обозначает все другие внутренние квантовые числа, такие как спин, и ты с ( п ) и в с ( п ) являются поляризациями. а п , с и б п , с † являются операторами уничтожения и создания. Понятно, что а -режимы и б -моды качественно различны: мы не можем преобразовать одну в другую преобразованием Лоренца, так как моды имеют положительные и отрицательные частоты, а операторы а п , с † и б п , с † преобразуются противоположно при внутренней симметрии, потому что а п , с и б п , с † должны преобразовываться одинаково. Это означает, например, что они должны создавать частицы с противоположным электрическим зарядом.

Чтобы объяснить эту разницу, мы условно называем одно из этих возбуждений «частицами», а другое — «античастицами». Конечно, это всего лишь вопрос условности; дело в том, что здесь нужно провести реальное различие. (Тот факт, что существует два разных вида, объясняется тем, что моды могут иметь положительную или отрицательную частоту, и это является следствием лоренц-инвариантности; в нерелятивистской теории поля нет необходимости иметь два типа мод. Вот что люди имеют в виду. когда говорят, что релятивистская КТП предсказывает наличие антивещества.)

Квантовые дискретные симметрии

Грубые и готовые наивные определения четности, зарядового сопряжения и обращения времени таковы:

  • Паритет: п ^ а п , с п ^ − 1 знак равно а п ′ , с куда п ′ является п с перевернутым 3 -импульс и с остается такой же.
  • Зарядовое сопряжение: С ^ а п , с С ^ − 1 знак равно любой оператор уничтожения античастиц с тем же п и с . (Не обязательно б п , с в выражении выше.)
  • Разворот времени: Т ^ а п , с Т ^ − 1 знак равно а п ′ , с ′ куда Т ^ антилинейный, с ′ имеет спину с перевернулся.

Эти требования напрямую вытекают из того, что мы ожидаем классически. Они уже нетривиальны. Например, в теории одного спинора Вейля невозможно определить п ^ потому что, если а п , с существует, то а п ′ , с нет, потому что это будет иметь неправильную спиральность. Также невозможно определить С ^ , опять же потому что не за что а п , с чтобы сопоставить. Точно так же можно доказать, что электрослабая теория неверна. п ^ или С ^ симметричный, хотя оба могут быть определены.

Только из этих определений легко показать все известные свойства. Например, используя расширение мод, вы можете показать, что само квантовое поле преобразуется так, как вы ожидаете. Например, при паритете ψ ^ ( Икс , т ) сопоставляется с п ψ ^ ( − Икс , т ) куда п представляет собой числовую матрицу, которая может перетасовывать компоненты поля. Поэтому я полагаю, что можно было бы определить дискретные симметрии непосредственно по тому, как они действуют на поля, хотя это, вероятно, было бы более неуклюжим.

Более общие определения

Люди часто используют более общие определения. Например, зарядовое сопряжение не является симметрией КЭД, если вы не позволите операторам рождения/уничтожения фотона использовать лишний знак минус. Итак, условно мы допускаем определение всех этих дискретных симметрий вплоть до фаз. Разрешение на это дает нам симметрию для работы, которая дает нетривиальную информацию, в то время как строгое определение ничего не дает.

В качестве более радикального шага в лево-правых симметричных моделях можно было бы иметь калибровочную группу, подобную С U ( 2 ) л × С U ( 2 ) р , и можно определить «обобщенную четность» для отправки Икс → − Икс и поменять местами эти две группы датчиков. Это большое изменение, но суть та же: это дискретная симметрия теории, которую мы можем использовать для ограничения динамики, и у нее есть некоторые общие черты с четностью, поэтому мы ее так и называем. Это полезно, потому что смысл этих моделей состоит в том, чтобы сделать θ -член КХД обращается в нуль, и эта обобщенная четность делает свое дело.

Классические дискретные симметрии

Следует предостеречь, что есть еще три вещи, обычно называемые четностью, зарядовым сопряжением и обращением времени, которые совершенно разные . Это дискретные симметрии классических полей. Для классического поля ψ ( Икс , т ) они эвристически определяются как

  • Паритет: ψ ( Икс , т ) → М п ψ ( − Икс , т )
  • Зарядовое сопряжение: ψ ( Икс , т ) → М С ψ * ( Икс , т )
  • Разворот времени: ψ ( Икс , т ) → М Т ψ ( Икс , − т )

куда М п , М С , и М Т произвольные числовые матрицы. Эти матрицы обычно выбирают, чтобы сохранить соглашение об упорядочении компонентов поля. Например, в спиноре Дирака мы часто помещаем компоненты левой хиральности сверху, но после преобразования четности компоненты правой хиральности оказываются сверху. Матрица М п , который γ 0 в некоторых соглашениях возвращает компоненты в обычном порядке. Аналогично, в КЭД имеем М С знак равно − 1 по той же причине, что и в квантовом случае. Дополнительные примеры см. в существующем ответе Райана Торнгрена.

Эти классические дискретные симметрии в первую очередь полезны для создания теории представлений на уровне лагранжианов и не имеют ничего общего с теоремой CPT. Как и в случае с квантовыми дискретными симметриями, определения можно расширить, если это удобно.

Предупреждение: классические дискретные симметрии часто отождествляют с квантовыми дискретными симметриями, потому что они обе действуют на объект, называемый ψ подобным образом. Однако действия редко бывают идентичными. О подводных камнях, связанных с зарядовым сопряжением, я подробно рассказываю здесь .

Что еще хуже, можно также определить дискретные симметрии для волновых функций первого квантования (также называемых ψ ) или для вторично-квантованных одночастичных волновых функций (также называемых ψ ), и, конечно, во всех четырех случаях симметрии определяются немного по-разному. Так что, если вы найдете что-нибудь под заголовком вроде «Дискретные симметрии объясняются интуитивно!», 3 / 4 шанс, что речь вообще не идет о настоящих квантовых. Будь осторожен!

Дальнейшие вопросы

Этот ответ уже возмутительно длинный, но позвольте мне ответить на несколько вопросов из ОП.

  1. Должны ли P̂ , Ĉ , T̂ быть обратными?

Нет, из-за дополнительных фаз, о которых я упоминал выше; см. этот вопрос . Опять же, это зависит от соглашения. Вы могли бы принять более строгое соглашение, чтобы п ^ всегда равняется единице, но это просто бесполезно, потому что часто модифицированный п ^ то, что не соответствует одному, будет сохранено, и вы захотите поговорить об этом. Также, Т ^ даже не соответствует единице в нерелятивистской квантовой механике, так что вы действительно не должны ожидать этого в КТП.

  1. Возникает ли CP-нарушение, когда CP-преобразование классических полей изменяет лагранжиан? Если мы вольны определять числовые матрицы по своему усмотрению, могут ли различные варианты выбора привести к неоднозначности в отношении того, нарушается ли CP?

Когда мы говорим о нарушении ЦП, мы обычно имеем в виду бариогенез. Поскольку античастица бариона имеет противоположное барионное число, суммарное барионное число нарушает как квантовое C, так и квантовое CP. Та же логика справедлива и для лептогенеза с лептонными числами. Мы говорим здесь о квантовых частицах, поэтому мы имеем в виду квантовые симметрии. Это утверждение остается верным вплоть до корректировки того, что означают C и CP, пока они по-прежнему переворачивают барионное/лептонное число.

Опять же, симметрии выбраны потому, что они являются удобными инструментами. Если вы отказываетесь от дополнительных фаз, то даже одна только КЭД имеет нарушение как С, так и СР. Но это бесполезное утверждение, потому что оно остается верным независимо от того, что чистая КЭД не даст вам лептогенеза; динамика теории не зависит от того, что мы называем симметриями. Мы решили определить C и CP так, чтобы они были симметриями КЭД, что позволяет нам легче вывести этот факт.

  1. Наверняка классические преобразования как-то связаны с КТП?

Классическая симметрия действия превращается в квантовую симметрию действия, если нет аномалий, так что да. Проблема в том, что условности разные.

Например, рассмотрим теорию однозарядного спинора Вейля. Классический C просто переворачивает свою хиральность. Квант C и квант P вообще не определены, но классический C примерно соответствует тому, что было бы квантовым CP.

К счастью, вам не нужно беспокоиться об этом, если вы просто придерживаетесь скаляров и векторов; раздражают только спиноры. Например, нарушение СР из тета-члена обычно выводится, показывая, что оно не инвариантно относительно классической СР, которая равна квантовой СР.

  1. Является ли псевдоскаляр просто скаляром с другим выбором Mp? Почему классический выбор числовой матрицы ограничивает допустимые члены лагранжевого взаимодействия?

Тот же ответ, что и у других. Вы можете выбрать определение М п как хотите, но если вы запретите знаки, то не получите симметрии. Опять же, лагранжиан на самом деле ограничен независимо от того, что мы делаем, но проще всего увидеть, если мы определим симметрию с соответствующими знаками минус для определенных полей, называемых псевдоскалярами, которые мы называем четностью. (В частности, если лагранжиан имеет определенную симметрию, то при потоке РГ генерируются только члены с этой симметрией. Это означает, что мы должны записывать только члены, соответствующие симметрии. Но расчет потока РГ работает так же, даже если мы не знаем симметрия есть)

Вы можете спросить: учитывая эту свободу в переопределении, действительно ли мир выглядел бы так же, если бы мы отражали его наизнанку относительно происхождения? Какая четность является истинной, физической четностью? Поскольку на самом деле никто никогда не сможет этого сделать, это бессмысленный вопрос.

Очень очень хорошо. Несколько вопросов: 1. Делать п ^ , С ^ , Т ^ должны быть их собственные инверсии? 2. Делает С п нарушение возникает при совершении С п преобразование на классических полях меняет лагранжиан? Если мы вольны определять числовые матрицы по своему усмотрению, могут ли различные варианты выбора привести к двусмысленности в отношении того, действительно ли С п нарушается? 3. Конечно, классические преобразования каким-то образом связаны с КТП? 4. Является ли псевдоскаляр просто скаляром с другим выбором М п ? Почему классический выбор числовой матрицы ограничивает допустимые члены лагранжевого взаимодействия?
@ user1379857 Я отредактировал, чтобы ответить на ваши вопросы.
Большое спасибо за этот ответ, в нем много мудрости. Как только вы задаете гамильтониан/лагранжиан, вы также задаете все его симметрии. Мы вольны определять определенные преобразования, как хотим, и когда мы МОЖЕМ назвать симметрию, например, симметрией «четности», мы должны! Симметрия реальна, но наше имя — это просто (полезное) имя.
@ user1379857 Действительно. Шварц в своей книге КТП идет еще дальше и говорит, что симметрия Лоренца соответствует определению — он говорит, что когда у вас есть поле А мю вы не можете заранее указать , является ли это вектором Лоренца или нет. Вы просто «отпускаете теорию» и находите, какие у нее есть симметрии. Я думаю, что это заходит слишком далеко, потому что преобразования Лоренца связаны с тождеством (вы можете сделать повышение, вы не можете сделать преобразование четности), но это просто еще одно указание на то, как в наши дни думают о симметрии.
Я не могу понять вашего утверждения, что классические симметрии поля « полностью отличны » от симметрий, определенных для операторов рождения и уничтожения, и «не имеют ничего общего с СРТ-теоремой». Гривз и Томас , кажется, думают, что они одинаковы. Я почти уверен, что несоответствия в различных определениях C, P и T являются просто терминологическими соглашениями, а не признаком чего-то принципиально другого.
@benrg Нет, я думаю, что это принципиально другое. Например, классическое понятие C всегда определено для любого содержания поля, но квантовая версия C вообще не может быть определена для теории с киральными фермионами. Соответственно, статья, на которую вы ссылаетесь, никогда не определяет C сама по себе — она определяет C неявно (через определение PT), но только для «тензорных» теорий поля, у которых нет киральных спиноров.

C, P и T не обязательно должны существовать в квантовой теории поля, и они могут даже не быть уникальными. Только CPT гарантируется в общей унитарной QFT. Например, в стандартной модели С п и Т не симметрии, но их композиция.

Простой пример: рассмотрим двухкомпонентный реальный фермион. ψ в 1+1D. Безмассовый свободный лагранжиан для этого поля равен

я ψ Т γ 0 γ мю ∂ мю ψ .
Есть два варианта симметрии обращения времени:
ψ ( Икс , т ) ↦ ± γ 0 ψ ( Икс , − т ) ,
и массовый срок
я ψ Т γ 0 ψ
ломает любой. У паритета тоже есть выбор
ψ ( Икс , т ) ↦ ± γ 1 ψ ( − Икс , т )
а также нарушается массовым членом. В то же время нет никаких калибровочных сборов, поэтому мы можем выбрать С действовать банально и С п Т знак равно п Т является симметрией даже с массовым членом. Мы также можем выбрать С действовать по киральной симметрии
ψ ( Икс , т ) ↦ ± γ 2 ψ ( Икс , т )
и получить еще одно преобразование «CPT», которое является симметрией безмассовой модели, но не симметрией массивной модели.

Итак, вы видите, что есть много симметрий, которые мы можем назвать СРТ, «теорема СРТ» просто говорит, что независимо от того, как мы модифицируем эту теорию, будет некоторая антиунитарная симметрия. С (иногда понимается буквально как C, умноженное на P, умноженное на T, но не всегда).

Хотя все это правда, я не уверен, как это отвечает на вопрос. Конечно, вы правы в том, что существует множество различных допустимых понятий C/P/T, но вопрос именно в том, каким свойствам должно удовлетворять преобразование, чтобы мы могли назвать его преобразованием C/P/T. Такие свойства не будут выделять уникальное преобразование, как вы правильно заметили, но они, по-видимому, будут классифицировать все возможности. На ум приходит следующее свойство: C/P линейны и унитарны; T антилинейна и антиунитарна. Какие еще свойства мы должны наложить? Я считаю , что это вопрос.
@AccidentalFourierTransform Единственным гарантированным свойством является метод Риха-Шлидера и С 2 знак равно 1 .
Извините, кажется, я не очень ясно выразился в своем предыдущем комментарии. Я спрашивал про C, P и T отдельно, а не про CPT. Насколько я понимаю вопрос, ОП хочет знать, что характеризует операторы C, P и T. Например, если я определяю Вопрос ( ψ ) знак равно γ мю ∂ мю ψ , могу я позвонить Вопрос оператор зарядового сопряжения? Почему, почему нет?. В общем, есть некоторые свойства, которым должен удовлетворять оператор, если мы хотим назвать его оператором C (или P или T). Оператор Вопрос выше не удовлетворяет этим свойствам, поэтому это не оператор C. Но что это за свойства?
@AccidentalFourierTransform Вы можете называть операторов как хотите. Это зависит от того, что вы делаете. Например, физики конденсированного состояния имеют несколько различных концепций обращения времени. Единственное, что их всех объединяет, это т ↦ − т . Мы обсуждали в другом вопросе, что не существует и общей характеристики зарядового сопряжения.
@RyanThorngren Хм, не могли бы вы сказать мне, есть ли что-то в моих критериях (всего 6 пунктов списка), с чем вы не согласны? Я думаю, что улавливаю обычные соглашения в физике элементарных частиц, но мне было бы любопытно посмотреть, отличается ли конденсированная материя.
@knzhou afaik то, что вы сказали, правильно, хотя я не очень понял, что вы имели в виду о квантовой и классической симметрии. Дискретная симметрия действия спускается к квантовой симметрии при отсутствии аномалий. В физике конденсированного состояния иногда единственная симметрия обращения времени в игре больше похожа на CT и отправляет частицы в античастицы. Также нас часто интересуют системы с топологическим порядком, и выбор того, как C, P, T действуют на любые ионы, очень важен, и таких вариантов может быть много, и мы можем переставлять сектора суперотбора.
@RyanThorngren О, я просто имею в виду, что обычные соглашения в классическом и квантовом случаях не совпадают. Например, классический C сопряжен как с внутренним, так и с пространственно-временным представлением, поэтому он больше похож на квантовый CP. Конечно, в конце концов, это всего лишь условности, и в квантовом случае симметрии все еще существуют!
@RyanThorngren Да, модификация T таким образом, чтобы у вас все еще была T-подобная симметрия, звучит как идея, аналогичная приведенному мной примеру с «обобщенной четностью». Как здорово, что вы, ребята, играете с таким количеством комбинаций!
Каким предположениям должны удовлетворять CCC, PPP и TTT?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v