Внутренняя четность частицы и античастицы с нулевым спином

Я немного отклоняюсь от ваших обозначений и использую$\phi$для обозначения скалярного поля как более стандартного. Также я должен отметить, что квантовые поля являются операторами, и поэтому при преобразовании на них воздействуют как слева, так и справа.

Комплексное скалярное поле определяется выражением

$$\begin{equation} \phi (x) = \int \frac{ \,d^3p }{ (2\pi)^3 } \frac{1}{ \sqrt{ 2E _{ {\mathbf{p}} }}} \left( a _{ {\mathbf{p}} } e ^{ - i p \cdot x } + b ^\dagger _{ {\mathbf{p}} } e ^{ i p \cdot x } \right) \end{equation}$$ При паритете имеем, что $a _{ {\mathbf{p}} } \rightarrow a _{ - {\mathbf{p}} }$и $b _{ {\mathbf{p}} } \rightarrow b _{ - {\mathbf{p}} }$что приводит к, $$\begin{equation} P \phi ( t, {\mathbf{x}} ) P = \phi ( t , - {\mathbf{x}} ) \end{equation}$$ При комплексном сопряжении имеем, что $a _{ {\mathbf{p}} } \leftrightarrow b _{ {\mathbf{p}} }$что приводит к $$\begin{equation} C \phi ( t , {\mathbf{x}} ) C = \phi ^\ast ( t , {\mathbf{x}} ) \end{equation}$$

Коммутаторный характер$C$и$P$тогда совсем тривиально. Комплексное сопряжение не имеет ничего общего с тем, в каком положении находится поле. Это легко увидеть,

$$\begin{equation} C P \phi (x) P C = C \phi ( t , - {\mathbf{x}} ) C = \phi ^\ast ( t , - {\mathbf{x}} ) \end{equation}$$ $$\begin{equation} P C \phi (x) CP = C \phi ^\ast ( t , {\mathbf{x}} ) C = \phi ^\ast ( t , - {\mathbf{x}} ) \end{equation}$$ и, следовательно, два оператора должны коммутировать.