Зачем нам нужны сложные представления в Теориях Великого Объединения?

Зарядовое сопряжение чрезвычайно скользкое, потому что есть две его разные версии; на этом сайте было много вопросов, которые смешивались ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ), некоторые из которых я задавал несколько лет назад. В частности, в комментариях выше есть пара аргументов, когда люди говорят мимо друг друга именно по этой причине.

Я считаю, что текущий ответ попадает в одно из распространенных заблуждений. Я приведу как можно более подробный пример, пытаясь создать «Розеттский камень» для вопросов о хиральности, спиральности и$\hat{C}$. Другие дискретные симметрии рассматриваются здесь .

Пример гиперзаряда

Для простоты давайте рассмотрим гиперзаряд в Стандартной модели и посмотрим только на нейтрино, у которого, как мы предполагаем, есть стерильный партнер. Для данного импульса существует четыре состояния нейтрино:

$$|\nu, +\rangle \text{ has positive helicity and hypercharge } Y=0$$ $$|\nu, -\rangle \text{ has negative helicity and hypercharge } Y=-1/2$$ $$|\bar{\nu}, +\rangle \text{ has positive helicity and hypercharge } Y=1/2$$ $$|\bar{\nu}, -\rangle \text{ has negative helicity and hypercharge } Y=0$$

Есть два нейтринных поля:

$$\nu_L \text{ is left chiral, has hypercharge } -1/2, \text{annihilates } |\nu, -\rangle \text{ and creates } |\bar{\nu}, + \rangle$$ $$\nu_R \text{ is right chiral, has hypercharge } 0, \text{annihilates } |\nu, +\rangle \text{ and creates } |\bar{\nu}, - \rangle$$ Логика здесь следующая: пусть классическое поле преобразуется при представлении$R$группы внутренней симметрии. Тогда при квантовании он будет аннигилировать частицы, трансформирующиеся под$R$и создавать частицы, трансформирующиеся по сопряженному представлению$R^*$.

Симметрии пространства-времени более сложны, потому что частицы преобразуются под действием группы Пуанкаре и, следовательно, обладают спиральностью, а поля преобразуются под действием группы Лоренца и, следовательно, обладают киральностью. В общем, квантованное правокиральное поле аннигилирует частицу с положительной спиральностью. Иногда два понятия «правая киральность» и «положительная спиральность» оба называются «правыми», поэтому правое поле аннулирует правостороннюю частицу. Я буду избегать этой терминологии, чтобы не путать хиральность и спиральность.

Два определения зарядового сопряжения

Обратите внимание, что и состояния частиц, и поля преобразуются в представлениях$U(1)_Y$. Таким образом, есть два различных понятия зарядового сопряжения: одно действует на частицы, а другое действует на поля. На частицы действует оператор зарядового сопряжения$\hat{C}$удовлетворяющий

$$\hat{C} |\nu, \pm \rangle = |\bar{\nu}, \pm \rangle.$$ Этот оператор сохраняет все квантовые числа пространства-времени одинаковыми; он не меняет спин или импульс и, следовательно, не меняет спиральность. Важно отметить, что сопряжение заряда частиц не всегда сопряжено с внутренними квантовыми числами , как видно из этого простого примера. Это верно только тогда, когда$\hat{C}$является симметрией теории,$[\hat{C}, \hat{H}] = 0$.

Кроме того, если бы у нас не было стерильного партнера, у нас были бы только степени свободы, создаваемые или уничтожаемые партнером.$\nu_L$поле, и не было бы никакого способа определить$\hat{C}$согласуется с приведенным выше определением. Другими словами, сопряжение заряда частиц не всегда даже определено , хотя и со стерильным партнером.

Существует еще одно понятие зарядового сопряжения, которое в классических полях представляет собой просто комплексное сопряжение.$\nu_L \to \nu_L^*$. По определению сопряженного представления оно сопряжено со всеми представлениями, под действием которых поле преобразуется, т. е. переворачивает$Y$к$-Y$ и переворачивает хиральность. Это верно, если теория$\hat{C}$-симметричный или нет. Для удобства мы обычно определяем

$$\nu_L^c = C \nu_L^*$$ куда$C$это матрица, которая просто помещает компоненты$\nu_L^*$в стандартный порядок, чисто для удобства. (Иногда эту матрицу также называют зарядовым сопряжением.)

В любом случае это означает$\nu_L^c$является правохиральным и имеет гиперзаряд$1/2$, так

$$\nu_L^c \text{ is right chiral, has hypercharge } 1/2, \text{annihilates } |\bar{\nu}, +\rangle \text{ and creates } |\nu, - \rangle.$$ Важность этого результата состоит в том, что зарядовое сопряжение полей не дает дополнительных частиц . Оно только меняет местами то, что поле создает, и то, что оно уничтожает. Вот почему, например, теория частиц Майорана может иметь лагранжиан, записанный в терминах левокиральных полей или в терминах правокиральных полей. Оба дают одни и те же частицы; это просто тривиальное изменение обозначения.

(Для полноты отметим, что существует еще и третье возможное определение сопряжения заряда: вы можете изменить приведенное выше сопряжение заряда частицы, наложив дополнительное требование инвертировать все внутренние квантовые числа. Действительно, многие курсы по квантовой теории поля начинаются с такого определения, как это. Но это строгое определение сопряжения заряда частицы означает, что его нельзя определить даже для стерильного нейтрино , что означает, что остальная часть обсуждения ниже является спорной. Это обычная проблема с симметриями: часто интуитивные свойства, которые вы хотите, просто могут одновременно не удовлетворены. Вы можете либо просто отказаться от определения симметрии, либо отказаться от некоторых свойств.)

Несоответствия между определениями

Существующий ответ перепутал эти два понятия сопряжения заряда, потому что он предполагает, что сопряжение заряда дает новые частицы (верно только для сопряжения заряда частицы) при обращении всех квантовых чисел (верно только для сопряжения заряда полем). Если вы постоянно используете одно или другое, аргумент не работает.

Смущает то, что частица$\hat{C}$оператор, говоря словами, просто отображает частицы в античастицы. Если вы думаете, что антивещество определяется наличием противоположных материи (внутренних) квантовых чисел, тогда$\hat{C}$должны обратить эти квантовые числа. Однако это наивное определение работает только для$\hat{C}$-симметричные теории, и мы явно имеем дело с теориями, которые не$\hat{C}$-симметричный.

Один из способов осмыслить разницу состоит в том, что с точки зрения только содержания репрезентации и для$\hat{C}$Только в -симметричной теории сопряжение заряда частицы такое же, как сопряжение заряда поля, за которым следует преобразование четности. Это приводит к множеству споров, когда люди говорят: «Нет, ваш$\hat{C}$имеет дополнительное преобразование четности!"

Для полноты отметим, что оба этих понятия зарядового сопряжения можно определить при первом квантовании, когда мы думаем о поле как о волновой функции для отдельной частицы. Это вызывает большую путаницу, потому что заставляет людей смешивать понятия частицы и поля, когда они должны быть строго концептуально разделены. Существует также запутанная проблема со знаком, потому что некоторые из этих первых квантованных решений соответствуют дырам во втором квантовании, обращая большинство квантовых чисел (см. мой ответ здесь для более подробной информации). Я вообще не думаю, что следует говорить о «киральности частицы» или «спиральности поля» вообще; первая квантованная картина хуже, чем бесполезна.

Почему два определения?

Теперь можно задаться вопросом, зачем нам нужны два разных понятия зарядового сопряжения. Зарядовое сопряжение на частицах только превращает частицы в античастицы. Это разумно, потому что мы не хотим менять то, что происходит в пространстве-времени; мы просто превращаем частицы в античастицы, сохраняя при этом их движение в том же направлении.

С другой стороны, зарядовое сопряжение на полях сопряжено со всеми представлениями, включая представление Лоренца. Почему это полезно? Когда мы работаем с полями, мы обычно хотим написать лагранжиан, а лагранжианы должны быть скалярами при преобразованиях Лоренца,$U(1)_Y$трансформаций и абсолютно всего остального. Таким образом, полезно все спрягать, потому что, например, мы точно знаем, что$\nu_L^c \nu_L$может быть приемлемым лагранжевым членом, если мы соответствующим образом свяжем все неявные индексы. Это, конечно, массовый термин Майораны.

Отвечая на вопрос

Теперь позвольте мне ответить на фактический вопрос. По теореме Коулмана-Мандулы внутренняя симметрия и пространственно-временная симметрия независимы. В частности, когда мы говорим, скажем, о множестве полей, преобразующихся как$10$в$SU(5)$GUT все эти поля должны иметь одинаковые свойства преобразования Лоренца. Таким образом, все поля материи принято записывать в терминах левокиральных спиноров Вейля. Как сказано выше, это ничего не делает с частицами, это просто полезный способ организовать поля.

Следовательно, мы должны построить наш GUT, используя такие поля, как$\nu_L$а также$\nu_R^c$куда

$$\nu_R^c \text{ is left chiral, has hypercharge } 0.$$ Как бы это выглядело, если бы наша теория не была киральной? затем$|\nu, + \rangle$должен иметь такой же гиперзаряд, как$|\nu, -\rangle$, из чего следует, что$\nu_R$должен иметь гиперзаряд$-1/2$как$\nu_L$. Тогда наши ингредиенты будут $$\nu_L \text{ has hypercharge } -1/2, \quad \nu_R^c \text{ has hypercharge } 1/2.$$ В частности, обратите внимание, что гиперзаряды идут противоположной парой.

Теперь предположим, что наши материальные поля образуют реальное представление$R$калибровочной группы ТВО$G$. Происходит спонтанное нарушение симметрии, сводящее калибровочную группу к группе Стандартной модели.$G'$. Отсюда представление$R$разлагается,

$$R = R_1 \oplus R_2 \oplus \ldots$$ где$R_i$представляют собой$G'$. С$R$реально, если$R_i$присутствует в разложении, то его сопряженное$R_i^*$также должны присутствовать. Это решающий шаг.

В частности, для любого левокирального поля с гиперзарядом$Y$, есть еще одно левокиральное поле с гиперзарядом$-Y$, что эквивалентно правокиральному полю с гиперзарядом$Y$. Таким образом, левокиральные и правокиральные поля появляются парами с точно такими же преобразованиями при$G'$. Эквивалентно, у каждой частицы есть партнер с противоположной спиралью с тем же преобразованием при$G'$. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что теория не хиральна.

Чтобы исправить это, мы можем предположить, что все нежелательные «зеркальные фермионы» очень тяжелые. Как указано в другом ответе, для этого нет причин. Если бы это было так, то мы столкнулись бы с проблемой естественности так же, как и для бозона Хиггса: поскольку нет ничего, что отличало бы фермионы от зеркальных фермионов, с точки зрения симметрии ничто не мешает материи приобрести такую ​​же огромную массу. Это считается очень веским доказательством против таких теорий; некоторые говорят, что по этой причине теории с зеркальными фермионами полностью исключены. Например,$E_8$теория, активно продвигаемая в прессе, имеет именно эту проблему; теория не может быть киральной.

Это можно объяснить, если подумать о связи фермионов с$SU(2)$слабое калибровочное поле. Давайте подытожим, что мы знаем

1. Фермионы Вейля обязательно появляются в двух комплексных представлениях группы Лоренца$L$а также$R$.
2. Только фермионы в$L$представление пары групп Лоренца в$SU(2)$калибровочное поле.
3. CPT - это симметрия теории.

Теперь введем оператор зарядового сопряжения $C$. Рассмотрим левое фермионное поле, живущее в фундаментальном представлении$R$калибровочной группы$G$. Тогда оператор зарядового сопряжения создает левое антифермионное поле в комплексно-сопряженном представлении$\bar{R}$. Если$R$является реальным представлением, то$R=\bar{R}$.

Почему это плохо? Что ж, если левый антифермион живет в том же представлении, что и левый фермион, то он точно так же может связываться с калибровочным полем. В самом деле, по логике эффективной теории поля, так и должно быть, если только вы не изобретете какой-нибудь сложный новый механизм, предотвращающий это!

Теперь, используя СРТ-симметрию, мы можем эквивалентно рассматривать наш левый антифермион как правый фермион. Но это означает, что у вас есть правая фермионная связь с калибровочным полем точно так же, как изначально была левая. Другими словами, ваша теория не хиральна.

Есть ли лазейки? Что ж, вы можете предположить, что правые фермионы, взаимодействующие со слабым полем, просто еще не наблюдались! Это идея зеркальной материи . Это необходимое предсказание любой теории, использующей алгебру Ли, которая не имеет комплексных представлений, таких как$E_8$.

В заключение я думаю, что у Виттена есть самое ясное объяснение, но оно немного кратко! Я согласен с тем, что некоторые из приведенных выше аргументов расплывчаты (как и изначально был этот ответ). Пожалуйста, продолжайте задавать вопросы в комментариях, и, надеюсь, мы сможем найти действительно доступное объяснение!

Попытка дать краткий ответ: Стандартная модель киральна, и мы определяем оператор киральной проекции как

$$P_{RL} = \frac{1}{2}(1 \pm \gamma^5),$$ который включает$\gamma^5$выражается как $$\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3.$$ Мнимое число$i$в приведенном выше определении имеет решающее значение для сохранения$\gamma^5$отшельник $$(\gamma^5)^\dagger = \gamma^5.$$ Учитывая, что Стандартная модель хиральна, незаменимым$i$в определении киральной проекции$P_{RL}$обязывает нас выбрать комплексное представление.

При этом реальное представление строго не запрещено, если вы достаточно изобретательны, чтобы придумать настоящий оператор киральной проекции и реальный$\gamma^\mu$представление.