Какое лучшее доказательство того, что 1 + 1 = 2, сделанное человеком, который не был Бертраном Расселом?

В вопросе сказано все. Кроме Рассела и Уайтхеда, кто из философов и математиков успешно продемонстрировал, что 1+1=2? Дополнительный бонус (т. е. теплое чувство внутри) присуждается за указание книги или эссе, в котором содержится доказательство.

Этот вопрос немного ошибочен. Когда вы говорите о доказательстве чего-то подобного, вы на самом деле говорите о доказательстве с использованием аксиоматического метода, верно? Но аксиоматический метод в полностью формальной обстановке не был инициирован до Фреге. До этого люди не заботились о строгом фундаменте математики так, как они это делали впоследствии. Таким образом, вы не найдете книгу, в которой люди так же строго разрабатывают арифметические тождества, основанные на первых принципах, как это делали они.
Ответ Мауро действительно указывает на другую проблему с формулировкой этого вопроса. PM доказывает 1 + 1 = 2 почти так же, как вы делаете это в PA, как это делали Дедекинд и Пеано, но сначала нужно доказать гораздо больше. PM не важен, потому что он доказал 1 + 1 = 2, он важен, потому что это была полная система математической логики, которая могла использовать формальный аксиоматический метод для доказательства всех тавтологий и многих математических утверждений. Может быть, вы действительно просто обеспокоены тем, кто еще доказал очень простую арифметическую идентичность, но я думаю, что это классический пример того, что за деревьями не хватает леса.
Жаль, что Кант сразу же пришел к выводу, что 7+5=12. Но Пеано поступил лучше: он потратил четыре страницы, доказывая, что 1 — это число, и посрамил пифагорейцев. Ибо они считали, что число есть множество единиц, и, следовательно, единица не есть число.
@Conifold - «Пеано потратил четыре страницы, доказывая, что 1 — это число». Где ?
@MauroALLEGRANZA Теперь, когда я думаю об этом, это, вероятно, был пересказ Кутюра в Les principes des mathematiques (1904 г.) в формализме Пеано. Пуанкаре высмеивает это в Les mathematiques et la logique (1905): «Если требуется четыре страницы, чтобы доказать, что 1 является числом, сколько потребуется, чтобы доказать нетривиальную теорему» (по памяти).
@Conifold - Спасибо. Может быть... в принципах арифметики Пеано (ссылка ниже) 1 ∈ N является аксиомой 1 (стр. 1).
Для чего это стоит, вот мое формальное доказательство построения функции сложения из аксиом Пеано и доказательство добавления (1,1) = 2 dcproof.com/Add1plus1.htm (760 строк)

Ответы (1)

В современном аксиоматическом подходе из определения 2 как преемника 1 следует :

2=s(1) (также пишется: 2=1' ).

См. Giuseppe Peano, Arithmetices principia: nova methodo exposita (1889) , стр. 1.

Базовый механизм уже был заложен в Ричарде Дедекинде. (1893 г.) , параграф XI: Добавление номеров :

сумма полностью определяется условиями

т + 1 = т' ,

м + п' = (м + п)' .

Применяя первое условие к m=1 , получаем:

1+1=1' .

Подход Пеано предположительно основан на известном доказательстве Лейбница 2+2=4 .

См. Новые очерки человеческого понимания (1704 г.) , книга IV, vii, 10 [английский перевод, стр. 414]:

Определения . (1) Два есть один и один.

(2) Три — это два и один.

(3) Четыре — это три и один.

Лейбниц вводит только одну аксиому равенства:

Аксиома . Если равные заменить равными, равенство останется,

и, таким образом, по современным меркам доказательство является неполным, поскольку оно опирается на неявно предполагаемую ассоциативность суммы.

Другим источником работы Пеано был Герман Грассманн .

Lehrbuch der Mathematik Грассмана (1861 г.) содержит достаточно полную систему аксиом для арифметики.

См. Hans-Joachim Petsche, Hermann Grassmann: Biography , Birkhauser (2009), стр. 198 и далее.

Этот цитируемый раздел «сумма» подразумевает m+n'=(m+n)'=m'+n', где вы вычитаете n' с обеих сторон, и вы получаете m=m' LOL
@EternalPropagation - (m+n)'=m'+n' неверно. Преемником (2+3) является 6, тогда как преемником 2 является 3, а преемником 3 является 4 и 3+4=7.
@MauroALLEGRANZA Ссылка на Лейбница начинается со стр. 515. Верна ли ссылка на стр. 414?
Какое лучшее доказательство того, что 1 + 1 = 2, сделанное человеком, который не был Бертраном Расселом?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v