Сохранение энергии и поле смерти

Физическая система в ОТО вообще никогда не бывает изолированной , так как взаимодействует с искривленной метрикой, т. е. с гравитационным фоном. (Однако понятие изолированной системы может быть дано в частном случае асимптотически плоского пространства-времени, как обсуждается в ответе auxsvr.)

По-видимому, этот факт препятствует существованию сохраняющихся величин , поскольку «внешняя» система может давать вклады в каждую величину, полученную путем интегрирования компонент тензора энергии напряжений$T_{ab}$над любым понятием трехмерного пространства покоя, и этот вклад может меняться со временем. Формальный закон сохранения

Однако если существует времениподобное векторное поле Киллинга $K$, наблюдатель, эволюционирующий вдоль касательных$K$рассматривает гравитационный фон как стационарный (см. ниже).

Электрический ток$J_b := K^aT_{ab}$оказывается должным образом сохраняющимся в силу уравнения Киллинга для$K$и формальный закон сохранения$\nabla^a T_{ab}=0$,

В покое с этим трехмерным пространством фон неподвижен: используя понятие времени$t$параметризуя кривые, касающиеся$K$как временная координата вместе с тремя другими пространственноподобными координатами на$\Sigma$, Оказывается, что$\partial_t g_{ab}=0$. Это не что иное, как уравнение Киллинга, записанное в указанных координатах.

Элементарное применение теоремы о расходимости доказывает, что (1) влечет

ПРИЛОЖЕНИЕ . Что касается метрики Керра, то интересное явление открыто Пенроузом и связано с тем, что внешний времениподобный вектор Киллинга (тот, который приближается к стандартному времени Киллинга Минковского вдали от черной дыры) становится пространственноподобным внутри эргосферы черной дыры.

Вообще говоря, если$K$времяподобна, и у вас есть частица с четырьмя импульсами$p$развивается по геодезической,

энергия частицы,$E := -K^bp_b$, относится к понятию времени, связанному с$K$сохраняется во времени.

Если частица распадается на две частицы, тот же закон сохранения приводит к тождеству

Все, что я написал, справедливо и в том случае, если$K$не времяподобно, в данном случае$-K^bp_b$сохраняется, но не имеет смысла энергии и ее знак может быть произвольным.

Предположим, что исходная частица разбивается прямо внутри эргосферы керровской черной дыры. Предположим, что а-частица вошла в эргосферу из области, удаленной от черной дыры (так что$E>0$). Предположим также, что часть$1$остается внутри эргосферы, тогда как часть$2$выходит и достигает начальной асимптотической области.

В этом случае$E_1\geq 0$, потому что геодезическая этой частицы снова ориентирована в будущее, как$K$является. Однако теперь возможно, что$E_2<0$, потому что$K$пространственноподобна в эргосфере, даже если$p_2$по-прежнему подобен времени и направлен в будущее. Как$E= E_1+E_2$, могло случиться, что

Ответ Вальтера Моретти очень хорош, и я кое-чему научился, прочитав его. Этот ответ предназначен для более низкого уровня объяснения основ этой темы, дающего трактовку в том же стиле, который используется, когда большинство текстов GR вводят эту тему.

Определение вектора Киллинга

Вектор убийства$\xi$векторное поле, описывающее симметрию пространства-времени. Если мы переместим каждую точку пространства-времени на бесконечно малую величину, причем направление и величина будут определяться вектором Киллинга, то метрика даст те же результаты. Вектор Киллинга можно определить как решение уравнения Киллинга,

т. е. ковариантная производная асимметрична по двум индексам.

Теперь предположим, что$p$— касательный вектор вдоль геодезической. Под этим мы подразумеваем, что он удовлетворяет геодезическому уравнению$p^a \nabla_a p^b = 0$. Это уравнение утверждает не только то, что$p$остается касательной к геодезической, т. е. переносится параллельно самой себе, но также и то, что она параллельно переносится вдоль этой геодезической аффинным образом, так что она не «меняет длину» по ходу движения. Это аффинное понятие «неизменяющейся длины», а не метрическое, поэтому оно в равной степени применимо, если$p$является нулевым, а не времениподобным. Для массивной или безмассовой частицы, движущейся по инерции, в этом смысле импульс является касательным вектором к геодезической.

Сохраняющаяся величина, связанная с вектором Киллинга

Теорема: При сделанных выше предположениях$p_b \xi^b$— сохраняющаяся величина вдоль геодезической. То есть она постоянна для пробной частицы.

Доказательство: Мы доказываем это, показывая, что

Применение правила произведения дает

Первый член обращается в нуль из уравнения геодезических, а второй член из-за антисимметрии, выражаемой уравнением Киллинга, в сочетании с симметрией$p^a p_b$.

Ничто из вышеперечисленного не изменится, если мы масштабируем$p$по какому-то фактору. В случае массивной частицы удобнее положить$p$— импульс на единицу массы, так что все выражения зависят только от геодезической.

Нигде в этом аргументе не было необходимости делать какие-либо предположения о том,$\xi$был времениподобным, нулевым или пространственноподобным.

Некоторые особые случаи

Представляют интерес некоторые частные случаи. Предположим, что метрика не зависит от одной координаты$x^\mu$. Затем$\partial_\mu$является убивающим вектором, и$p_\mu$сохраняется.

Ряд дальнейших ограничений на все более и более частные случаи: ---

Если показатель не зависит от$t$, где$t$времяподобная координата, это$p_t$(компонент ковариантного вектора импульса), который сохраняется, но обычно$p^t$которую мы называем «этой» энергией.

Когда метрика также является диагональной, это$g_{tt} p^t$что сохраняется. Для метрики Шварцшильда это$(1-2M/r)E$, где E — энергия, измеренная статическим наблюдателем, т. е. наблюдателем, вектор скорости которого параллелен вектору Киллинга. (Обратите внимание, что эта последовательность интерпретаций не работает, когда вектор Киллинга не является времениподобным.)

Нулевые или пространственноподобные векторы Киллинга: пример

Чтобы увидеть, что происходит, когда$\xi$времяподобно, полезно рассмотреть частный случай фотона, падающего из$r=+\infty$в черную дыру Шварцшильда. Тогда в координатах Шварцшильда$ds^2=0$дает$dr/dt=\pm A$, где$A=1-2M/r=g_{tt}$.

За горизонтом,$dr/dt=-A$,$p^t$это энергия, измеренная статическим наблюдателем, парящим над$r$, а сохраняющееся количество$p_t=p^tA$это энергия с красным смещением, видимая наблюдателем на бесконечности.

Когда та же самая частица проходит внутрь горизонта, ее траектория теперь$dr/dt=+A$, который по-прежнему отрицательный. Здесь нет статичных наблюдателей, поэтому$p^t$, что является отрицательным, не является энергией, видимой любым наблюдателем.

Если метрика асимптотически плоская, то легко придать смысл величине, чтобы она напоминала энергию, известную нам из специальной теории относительности. В частности, для метрики Керра мы можем рассматривать$(\partial_t)^a$как вектор, представляющий стационарного наблюдателя в бесконечности, где пространство-время — это Минковский, а остальное представляется указанному наблюдателю как изолированная система. Если определение скаляра таково, что оно соответствует энергии в асимптотической области, скажем$-p_a(\partial_t)^a$с$p^a$импульс пробной частицы, то мы можем рассматривать его как энергию во всем пространстве-времени.