Почему векторные поля, индуцированные координатами, не всегда являются полями Киллинга?

Question

Почему векторные поля, индуцированные координатами, не всегда являются полями Киллинга?

пользователь 2723984

У нас есть это

л_{К} г_{мю ν} "=" \nabla_{мю} К_{ν} + \nabla_{ν} К_{мю}

$L_K g_{\mu\nu}=\nabla_\mu K_\nu + \nabla_\nu K_\mu$

Векторное поле $K$ поле смерти, если $L_K g_{\mu\nu}=0$ , но рассмотрим индуцированное координатами векторное поле $\partial_\alpha$ , у нас есть

(\partial_{α})_{ν} "=" г_{λ ν} (\partial_{α})^{λ} "=" г_{λ ν} {дельта}_{α}^{λ} "=" г_{α ν}

$(\partial_\alpha)_\nu=g_{\lambda\nu}(\partial_\alpha)^\lambda= g_{\lambda\nu}\delta^\lambda_{\,\,\alpha}=g_{\alpha\nu}$

Таким образом, по условию совместимости соединения Levi Civita, т.е. $g_{ij;k}=0$ для всех $i,j,k$

л_{\partial_{α}} г_{мю ν} "=" 0

$L_{\partial_\alpha}g_{\mu\nu}=0$

для всех $\alpha$ .

Это, конечно, бессмысленно, потому что это означало бы, что скорости всегда сохраняются во всех направлениях, следовательно, никогда не бывает ускорения ... в чем огромная ошибка в моих рассуждениях?

РЕДАКТИРОВАТЬ: становится еще хуже: любое неисчезающее векторное поле на гладком многообразии можно выразить как $\partial_1$ в подходящей схеме

МБН

Что

(\partial_{α})_{ν}

$(\partial_\alpha)_\nu$ в смысле значит? Конечно, утверждение неверно. Возьмите любой пример, который вы хотите, где компоненты метрики зависят от заданной координаты, тогда касательное поле, соответствующее этой координате, не является Киллингом.

ТимРиас

я предлагаю взять

K = \partial_{r}

$K=\partial_r$ и

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ метрику Шварцшильда и увидеть, где и как ваши рассуждения терпят неудачу.

пользователь 2723984

@МБН

(\partial_{α})^{ν}

$(\partial_\alpha)^\nu$ является компонентом

ν

$\nu$ векторного поля

\frac{\partial}{\partial x^{α}}

$\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$ , т.е.

d x^{ν} \partial_{α} = δ_{α}^{ν}

$\mathrm{d}x^\nu \partial_\alpha=\delta^\nu_{\,\alpha}$

пользователь 2723984

@mment Вы имеете в виду вычисление производной Ли напрямую без использования ковариантной производной?

пользователь 2723984

@mment Мои вычисления показывают

K_{μ} = g_{μ α}

$K_\mu=g_{\mu\alpha}$ неверно или я неправильно понял условие Levi Civita?

Ответы (1)

Почему векторные поля, индуцированные координатами, не всегда являются полями Киллинга?

Что $(\partial_\alpha)_\nu$ в смысле значит? Конечно, утверждение неверно. Возьмите любой пример, который вы хотите, где компоненты метрики зависят от заданной координаты, тогда касательное поле, соответствующее этой координате, не является Киллингом.
я предлагаю взять $K=\partial_r$ и $g_{\mu\nu}$ метрику Шварцшильда и увидеть, где и как ваши рассуждения терпят неудачу.
@МБН $(\partial_\alpha)^\nu$ является компонентом $\nu$ векторного поля $\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$ , т.е. $\mathrm{d}x^\nu \partial_\alpha=\delta^\nu_{\,\alpha}$
@mment Вы имеете в виду вычисление производной Ли напрямую без использования ковариантной производной?
@mment Мои вычисления показывают $K_\mu=g_{\mu\alpha}$ неверно или я неправильно понял условие Levi Civita?

Мишель Гроссо · Answer 1

Векторное поле K является полем Киллинга, если производная Ли по K метрики g равна нулю. В вашей демонстрации вы принимаете в качестве вектора частную производную, а затем в правой части уравнения вы показываете тензор, то есть метрику. Это непоследовательно. Ваша демонстрация определяет ковариантные компоненты частной производной как вектора, а не компоненты метрического тензора. Таким образом, условие совместимости не применимо.

Примечание.
Учитывая показатель $g_{\mu \nu}$ , поле смерти $K = \partial_\lambda$ существует, если все компоненты метрики не зависят от координаты $x^\lambda$ . Однако могут быть скрытые симметрии, не столь явные.

Далее:
метрическая совместимость неприменима, потому что ковариантная производная вектора (один индекс) отличается от ковариантной производной тензора с двумя индексами.
$\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\mu \sigma} V^\sigma$ уравнение (1) ковариантная производная вектора
$\nabla_\mu T^{\nu \lambda} = \partial_\mu T^{\nu \lambda} + \Gamma^\nu_{\mu \sigma} T^{\sigma \lambda} + \Gamma^\lambda_{\mu \sigma} T^{\nu \sigma}$ уравнение (2) ковариантная производная двухиндексного тензора
Структура ковариантной производной иная. Даже если компоненты вектора частной производной формально совпадают с компонентами метрического тензора, они вычисляются в соответствии с уравнением (1), а не к уравнению. (2), что обеспечит совместимость.
(Обратите внимание, что я предполагал и вектор, и тензор, как описано в контравариантных компонентах. Если у вас есть в ковариантных компонентах, есть $-$ расписаться перед $\Gamma's$ и индексы меняются вверх/вниз).

Спасибо за ответ. Я не уверен, что понимаю. Я новичок в GR и подумал, что если $K$ вектор $g_{\mu\nu}K^\nu$ было определение _ $K_\mu$ . Если я правильно понял, для получения ковариантной формы $(\partial_\alpha)^\nu$ Я не могу просто договориться с метрикой. Но тогда что такое ковариантная форма и как ее получить? Как я вижу, что для метрики Шварцшильда $\partial_\phi$ и $\partial_t$ Поля смерти, но $\partial_r$ нет?
Я повторил свой ответ. Я также добавил примечание о манифестном способе понять, является ли частная производная полем Киллинга.
«Ваша демонстрация определяет ковариантные компоненты частной производной как вектора, а не компоненты метрического тензора». В моей «демонстрации» ковариантные компоненты частной производной как вектора оказываются 4 компонентами метрики, они это один и тот же математический объект, я не понимаю, почему условие совместимости не применяется. Думаю, мне нужно пересмотреть кое-что из дифференциальной геометрии. Я заметил более явное условие, используя прямое выражение производной Ли, мне все еще не ясно, что именно идет не так, используя ковариантные производные
Я добавил раздел «Далее» в свой ответ, чтобы объяснить, почему.

Почему векторные поля, индуцированные координатами, не всегда являются полями Киллинга?

пользователь 2723984

МБН

ТимРиас

пользователь 2723984

пользователь 2723984

пользователь 2723984

Ответы (1)

Мишель Гроссо

пользователь 2723984

Мишель Гроссо

пользователь 2723984

Мишель Гроссо

Сохранение энергии и поле смерти

Вычисление метрического тензора из его векторов Киллинга?

Какое-то уравнение сохранения

Должен ли каждая изометрия иметь связанный с ней вектор Киллинга?

Почему поля Киллинга важны в физике?

Определение «статического пространства-времени» по векторам Киллинга

«Легкий способ» узнать векторные поля Киллинга?

Докажите, что иссечение с сохранением изометрии похоже на убийство?

Разве у нас не было бы дополнительного закона сохранения в сферической Вселенной?

Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в общей теории относительности