Каков физический смысл внутреннего произведения двух волновых функций в квантовой области?

Я читаю книгу для начинающих по квантовой механике. В одном разделе автор показывает внутренний продукт двух волновых функций ⟨ α | β ⟩ . Мне интересно, каково значение этого продукта? Я погуглил, и кто-то назвал это амплитудой вероятности, но это произведение может быть сложным, так что имеет ли оно какое-то физическое значение?

С точки зрения квантовой интерференции, должны ли мы добавить волновые функции или амплитуды вероятности, прежде чем брать квадрат модуля? Извините, я только начинаю изучать квантовую механику, и многие концепции меня довольно сбивают с толку.

Это кажется немного странным, как описано. Возможно, если вы назовете текст или покажете соответствующие уравнения и их контекст, мы сможем лучше помочь. Я могу придумать пару правдоподобных объяснений, но трудно быть уверенным без контекста.

Ответы (2)

Предположим, у вас есть опыт работы с линейной алгеброй. Самое важное, что вам нужно знать, это то, что внутренний продукт имеет то же значение, что и то, что вы узнали на уроке линейной алгебры. Внутренний продукт

⟨ ф | ψ ⟩ "=" ∫ ф * ( Икс ) ψ ( Икс ) д Икс

имеет смысл, связанный с проекцией одного вектора на другой вектор (для истинной проекции волновые функции необходимо нормализовать). Это похоже на проекцию трехмерного вектора в → "=" а Икс ^ + б у ^ + с г ^ на другой единичный вектор Икс ^ который дает вам результаты в → ⋅ Икс ^ "=" а .

Во-первых , внутренний продукт может дать вам «квадрат длины» волновой функции:

⟨ ψ | ψ ⟩ "=" ∫ ψ * ( Икс ) ψ ( Икс ) д Икс "=" ∫ | ψ ( Икс ) | 2 д Икс
похоже на в → ⋅ в → "=" а 2 + б 2 + с 2 , поэтому вы можете нормализовать свою волновую функцию условием ⟨ ψ | ψ ⟩ "=" 1 .

Во-вторых , это позволяет вам показать, что две волновые функции ортогональны друг другу, учитывая условие, что скалярный продукт равен нулю. ⟨ ф | ψ ⟩ "=" 0 который является аналогом Икс ^ ⋅ у ^ "=" 0 .

В-третьих , если мы запишем волновую функцию ψ ( Икс ) как линейная комбинация ортонормированных волновых функций ψ н ( Икс ) :

ψ ( Икс ) "=" ∑ н с н ψ н ( Икс )
подобно общему вектору в линейной алгебре, то у нас будет скалярный продукт ⟨ ψ н | ψ ⟩ "=" с н . Значение с н - амплитуда вероятности, и это комплексное число в целом. Таким образом, вероятность п н волновой функции ψ имеющий компонент ψ н дан кем-то п н "=" | с н | 2 "=" | ⟨ ψ н | ψ ⟩ | 2 . Смысл здесь очень важен, когда вы учитесь проводить измерения.

Наконец , вы должны сложить две амплитуды волновых функций, прежде чем брать квадрат, аналогично сложению амплитуд двух волн на воде. Точнее, если новая волновая функция ψ ( Икс ) "=" А [ ψ а ( Икс ) + ψ б ( Икс ) ] , то плотность вероятности в положении Икс является А 2 | ψ а ( Икс ) + ψ б ( Икс ) | 2 . Обратите внимание, что А - константа нормировки, заданная условием ⟨ ψ | ψ ⟩ "=" 1 . Именно здесь возникает квантовый эффект. Не берите квадрат, а затем складывайте их вместе.

Спасибо хвлау. В вашем последнем заявлении вы сказали, что я должен сложить амплитуды волновых функций, прежде чем брать квадрат. Значит ли это что-то вроде следующего: |<\phi_a+\phi_b|\phi_b+\phi_b>|^2, то есть |<\phi_a|\phi_a> + <\phi_a|\phi_b> + <\phi_b|\phi_a > + <\phi_b|\phi_b>|^2, я прав?
Нет, когда вы берете внутренний продукт, это уже «квадрат длины». Если вы снова возьмете квадрат, то у вас будет «длина в степени 4». Кроме того, когда я говорю «длина», это «длина» всей волновой функции, а не конкретной локальной области (x,x+dx). Вы также напоминаете мне, что у меня отсутствует коэффициент нормализации при добавлении двух волновых функций. Смотрите редактирование.
Позвольте мне уточнить один момент, который сделал hwlau. Предположим, я готовлю квантовую систему в состоянии | β ⟩ , а затем отправить его через фильтр, который выбирает состояние | α ⟩ . Например, состояния могут относиться к поляризации света, а фильтр может быть поляризатором. Какова вероятность того, что государство пройдет через фильтр? Отвечать: п "=" | ⟨ β | α ⟩ | 2 .
Для hwlau, спасибо за ваше объяснение и извините за мой фиктивный вопрос. Я сбиваю вас с толку в вашем утверждении: «когда вы берете внутренний продукт, это уже «квадрат длины»», поэтому, насколько я понимаю, ⟨ α | β ⟩ обозначают внутренний продукт, но он может быть сложным. Например, если | α ⟩ "=" е − я α | β ⟩ , затем ⟨ α | β ⟩ "=" е я α . Поэтому я не понимаю, почему внутренний продукт здесь представляет собой квадрат длины. Не могли бы вы объяснить больше, спасибо.
@user1285419 user1285419 Это не фиктивный вопрос, это просто основной вопрос. Внутренний продукт в целом сложен. Однако я говорю, что это "квадрат длины" из-за того, что вы пишете в первом комментарии, это значение < ψ | ψ > когда волновая функция ψ в скобках одинаковые. В этом случае результатом всегда является положительное действительное число (см. уравнение 2), что означает квадрат длины. Кроме того, вы должны отметить, что когда люди говорят о волновой функции, это почти всегда означает, что она нормализована, что означает, что < ψ | ψ >= 1 (точно так же, как это подразумевал Эмарти в своем комментарии)

Упомянутый вами скалярный продукт — это амплитуда вероятности перехода одного из состояний в другое. Фактическая вероятность получается по норме амплитуды. Это то, что постоянно происходит в квантовой физике.

Также, цитируя Аулетту , «выражение ⟨ ψ | U т | ф ⟩ - амплитуда вероятности того, что при заданном начальном состоянии | ф ⟩ , измеряет, насколько близко он эволюционирует унитарно к конечному состоянию | ψ ⟩ вовремя т " где U т "=" е − я ℏ ЧАС ^ ( т − т 0 ) .
Каков физический смысл внутреннего произведения двух волновых функций в квантовой области?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v