Предположим, что система находится в некотором смешанном состоянии, описываемом оператором плотности:
р^"="∑к = 1Нрк|ψк⟩ ⟨ψк|
где
Н
есть размерность гильбертова пространства. Теперь для каждого вектора
| х⟩∈ K e r (р^)
, имеем по определению:
р^| х⟩=∑к = 1Нрк|ψк⟩ ⟨ψк| х⟩=0
Ввиду линейной независимости состояний это означает, что
⟨ψк| х⟩=0
для всех
к ∈ { 1 , . . . , Н}
, т. е. ядром оператора плотности является подпространство, соответствующее всем векторам, ортогональным ансамблю чистых состояний, составляющих общее смешанное состояние. Физически это означает, что ядро — это подпространство, натянутое на состояния, в которых система имеет нулевую вероятность находиться. Другими словами, каждое состояние внутри ядра имеет нулевую вероятность появления, и наоборот.
Если вы не уверены в обратном, рассмотрите состояние
| х⟩
который имеет нулевую вероятность возникновения; легко показать, что это состояние принадлежит ядру оператора плотности. Для этого вспомним, что вероятность нахождения в состоянии — это просто след оператора плотности, умноженный на проектор на это состояние; то есть
п= Т р (р^| х⟩⟨х | )=∑к = 1Н⟨ψк| ( р^| х⟩⟨х | ) | ψк⟩ =∑к = 1Н⟨ψк|р^| х⟩⟨х |ψк⟩
п"="∑к = 1Нрк⟨ψк| х⟩⟨х |ψк⟩ =∑к = 1Нрк | ⟨ψк| х⟩|2
Где я использовал тот факт, что оператор плотности является эрмитовым. Теперь настройка
п= 0
, потому что все члены в приведенной выше сумме неотрицательны (помните
рк
есть вероятность), все они должны быть равны нулю, чтобы сумма была равна нулю; что значит
⟨ψк| х⟩=0
. Таким образом:
р^| х⟩=∑к = 1Нрк|ψк⟩ ⟨ψк| х⟩=0
Которое значит что
| х⟩∈ K e r (р^)
.
Сируи Лу
Саханд Табатабаи