Почему операторы плотности охватывают все операторное пространство B(H)B(H)\mathcal{B}(H)?

Вы хотите доказать, что для произвольной матрицы$A$, мы можем написать$A$как линейная комбинация положительных матриц с единичной трассировкой.

Для этого вы начинаете с написания$A$с точки зрения его эрмитовой и косоэрмитовой составляющих (см. также этот пост об этом разложении):

$$A=\underbrace{\frac{A+A^\dagger}{2}}_{\equiv A_1}+i\underbrace{\frac{A-A^\dagger}{2i}}_{ \equiv A_2}\equiv A_1+i A_2,$$ где$A_1,A_2$эрмитовы (нетрудно также показать, что это разложение единственно).

Тогда можно воспользоваться тем, что для любой эрмитовой матрицы$H$, существуют положительные матрицы$H_+$и$H_-$такой, что$H=H_+-H_-$. Простой способ построить их - это иметь$H_+$содержат только члены спектрального разложения$H$соответствующие положительным собственным значениям, и аналогично для$H_-$. Эквивалентно, мы просто определяем$H_+\equiv (H+|H|)/2$и$H_-\equiv (|H|-H)/2$.

В заключение удалось написать

$$A=\frac{1}{2}[(A_{1,+}-A_{1,-})+i(A_{2,+}-A_{2,-})],$$ что говорит вам, что любой оператор является линейной комбинацией положительных . Чтобы показать, что это также линейная комбинация положительных единиц с единичной трассировкой , вам просто нужно изменить масштаб каждого элемента в сумме, чтобы получить операторы с единичной трассировкой. Например,$A_{1,+}$может не иметь единичной трассировки, но$A_{1,+}=\lambda(A_{1,+}/\lambda)$для любого$\lambda\in\mathbb R$, и мы можем выбрать$\lambda$такой, что$\operatorname{tr}(A_{1,+}/\lambda)=1$.

Выберите своего любимого оператора$\,x\in\mathcal{B}(H)\,$и напишите как$\,x=a+ib\,$где оба

$$a={x+x^*\over 2}\quad\text{and}\quad b={x-x^*\over 2i}$$ являются самосопряженными (или «эрмитовыми», синонимично). Здесь $x^*$обозначает сопряжение $\,x$; это соответствует транспонированию и комплексному сопряжению, если $\,x\,$представляется в виде матрицы.
Линейные комбинации $\,a,b\,$обобщать действительную и мнимую части комплексного числа.

Чтобы получить нужный вывод, заметим, что подмножество самосопряженных операторов в$\mathcal{B}(H)$равняется$\mathbb{R}$-линейный пролет$\,\mathcal{D}(H)\,$.