Классы эквивалентности в гильбертовом пространстве

Я читаю что-то о квантовой информации/теории квантовых вычислений и наткнулся на стену. Я знаю, что подразумевается под классом эквивалентности и как что-то можно разделить на классы эквивалентности, но мне нужна помощь по следующим двум вопросам:

  1. Как можно естественным образом реализовать разбиение гильбертова пространства?

  2. Как можно рассматривать оператор плотности как класс эквивалентности, представляющий диапазон различных возможных ансамблей?

Для 1. Я понятия не имею, а для 2. Я думал, что это как-то связано с уравнением ожидания некоторого наблюдаемого А ^ , ⟨ А ^ ⟩ "=" т р ( р А ^ ) , так как след циклически инвариантен и поэтому унитарное преобразование | ψ ′ ⟩ → U ^ | ψ ⟩ , А ′ ^ → U − 1 ^ А ^ U ^ , потому что

⟨ А ′ ^ ⟩ "=" т р ( р ′ А ′ ^ ) "=" т р ( U − 1 ^ р U ^ U − 1 ^ А ^ U ^ ) "=" т р ( U − 1 ^ р А ^ U ^ ) "=" т р ( р А ^ U ^ U − 1 ^ ) "=" ⟨ А ^ ⟩

Но тот же самый аргумент работает для ожидания, рассчитанного с помощью теоремы Эренфеста.

Я искал везде и ничего не нашел.

Как выглядят элементы в гильбертовом пространстве?
Вы имеете в виду векторы?
Да, но в общем случае гильбертово пространство является векторным пространством . Я могу представить, что вы работаете с векторным пространством, элементы которого являются решениями некоторого операторного уравнения. Узнав больше о структуре векторного пространства гильбертова пространства, на которое вы смотрите (основа?), может помочь найти удобное разделение пространства.
Не могли бы вы предоставить ссылку на обсуждение QC? Мое предположение находится в этом направлении. Для данной матрицы плотности она может представлять несколько возможных смешанных состояний. Таким образом, все эти возможности для одной матрицы находятся в одном классе эквивалентности в том смысле, что они будут давать одну и ту же матрицу плотности и, следовательно, одни и те же измеримые результаты для любого эксперимента. Но смешанные состояния не являются элементами (исходного) гильбертова пространства , поэтому было бы полезно ответить, если бы мы знали, какое гильбертово пространство разбивается.

Ответы (1)

В контексте физики существуют «естественные» отношения эквивалентности, мотивированные следующим понятием: математические объекты, определяющие одну и ту же физику, должны считаться эквивалентными. Эти отношения эквивалентности приводят к разделению множеств, на которых они определены.

Вооружившись этой идеей, давайте рассмотрим два пункта, которые вы упомянули:

  1. Позволять ЧАС быть гильбертовым пространством. Ненулевые элементы этого пространства можно рассматривать как состояния квантовой системы. Два таких состояния, отличающиеся ненулевым комплексным коэффициентом, следует считать эквивалентными, поскольку они определяют одну и ту же физику (например, дают одинаковые вероятности перехода). В результате возникает физически естественное отношение эквивалентности на ЧАС определяется следующим образом: ненулевой вектор | ψ 1 ⟩ называется эквивалентным другому ненулевому вектору | ψ 2 ⟩ если существует ненулевое комплексное число с для которого

    | ψ 1 ⟩ "=" с | ψ 2 ⟩ .
    Классы эквивалентности, определяемые этим отношением, называются лучами , а множество всех таких классов эквивалентности называется проективным гильбертовым пространством, определяемым равенством ЧАС . Этот набор часто обозначают п ( ЧАС ) .

  2. Позволять п "=" ( п 1 , п 2 , … ) последовательность неотрицательных действительных чисел, сумма которых равна 1 , и разреши Ψ "=" ( | ψ 1 ⟩ , | ψ 2 ⟩ , … ) — последовательность векторов единичной длины в гильбертовом пространстве ЧАС . Пара Е "=" ( п , Ψ ) таких последовательностей называется ансамблем . Это математическое определение можно рассматривать как соответствующее Н ≫ 1 квантовые системы такие, что Н к "=" п к Н из них готовят в чистом виде | ψ к ⟩ . Следовательно, каждый п к можно рассматривать как вероятность того, что один из Н системы готовят в чистом виде | ψ к ⟩ . Каждому ансамблю Е , мы можем связать оператор плотности следующим образом:

    р Е "=" ∑ к п к | ψ к ⟩ ⟨ ψ к | .
    Мы говорим, что ансамбль Е 1 эквивалентен ансамблю Е 2 при условии, что они определяют один и тот же оператор плотности:
    р Е 1 "=" р Е 2 .
    Идея этого определения заключается в том, что оператор плотности, связанный с каждым ансамблем, определяет всю физику, связанную с ним (например, средние значения наблюдаемых по ансамблю), поэтому с физической точки зрения ансамбли, дающие один и тот же оператор плотности, не следует считать разными. .

Классы эквивалентности в гильбертовом пространстве
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v