Каков классический предел давления ультрарелятивистского бозе-газа?

Это давление фотонного газа, а расхождение происходит потому, что число фотонов расходится в классическом пределе, это и есть ультрафиолетовая катастрофа. У вас не будет расходимости, если вы зафиксируете число частиц и возьмете ультрарелятивистский горячий предел, например, релятивистскую плазму электронов и протонов.

Для релятивистского газа с фиксированным числом частиц разумен классический предел, и классическое давление равно p = nT, как и для любого другого идеального газа, где n — числовая плотность, а T — термодинамическая температура. Я предпочитаю формулировать закон идеального газа как$\beta p = n$, но вы изучаете его в начальной школе как PV=NRT.

Прежде всего, когда мы говорим, что что-то является «классическим пределом», это не означает, что все интересные наблюдаемые, такие как давление, должны быть конечными (или равными нулю?) в пределе. Это просто означает, что мы сохраняем только первые члены порядка в расширении в$\hbar$. Так что если бы давление расходилось, прямого противоречия не было бы.

Во-вторых, расходится ли выражение, зависит от того, что остается фиксированным. Вы неявно держите$k,T,c$зафиксированный. В макроскопических единицах СИ ясно, что не только$\hbar$но и постоянная Больцмана$k$очень мал. Естественно сказать, что$k$– мост между микроскопической и макроскопической физикой – не сохраняется постоянным в классическом пределе;$k$сообщает вам энергию на кельвин на атом.

В только что появившемся ответе Рон сохраняет числовую плотность$n$(количество частиц в объеме) постоянна в пределе. Вы также можете масштабировать$k$с мощностью$\hbar$так что, например, газовая постоянная$R=kN_A$(произведение постоянной Больцмана и постоянной Авогадро) остается постоянной. В классическом пределе$N_A$поэтому уходит в бесконечность как$1/k$. Поскольку один моль газа имеет$p=RT/V$(все идеальные газы подчиняются этому), а также$p=(kT)^4/(hc)^3$, вы можете отменить разделить вещи, чтобы увидеть$R/V=k(kT/hc)^3$. Если вы хотите сохранить$R/V$постоянным в пределе, вы видите, что$k^4/h^3$также должно быть постоянным, поэтому$k$весы как$h^{3/4}$что скрыто$h$-scaling, о котором вы, вероятно, просили. В этом масштабировании$p$по вашей формуле, очевидно, остается конечным в пределе.

Однако существуют и другие способы масштабирования величин при определении «классического» предела. В системе нет ни одного классического предела, в котором многие вещи могут различными способами стремиться к нулю или бесконечности. Это общая тема в современной физике элементарных частиц. Например, теория Янга-Миллса со связью$g$и$N$цветов имеет много классических ограничений. Можно, например, сохранить$N$фиксированный и конечный и отправить$g\to 0$что является своего рода$\hbar\to 0$в теории поля - слабосвязанный классический предел. В качестве альтернативы можно сохранить$g^2 N$постоянным и малым и отправить в$g\to 0$, пока$N$соответствующим образом уходит в бесконечность;$g^2 N$это то, что более естественно измеряет, насколько «квантовой» является теория. Когда муфта 't Hooft$g^2 N$остается фиксированным, но большим, мы, по-видимому, получаем «антиклассический» предел, но этот так называемый предел 'т Хофта фактически может быть эквивалентно описан как (ведущая топология, плоские диаграммы) гравитации (точнее, теории струн типа IIB) на антиклассическом пределе. пространство де Ситтера, которое фактически является еще одним пределом исходной калибровочной теории.

По своей природе квантовая система может иметь множество классических ограничений.