Каков результат классического столкновения ТРЕХ точечных частиц в одно и то же мгновение?

Говорят, что классическая механика детерминистична, за этим утверждением почти всегда следует цитата из Лапласа, что-то вроде

Если бы когда-то были известны положения и скорости всех частиц во Вселенной, законы науки позволили бы нам вычислить их положения и скорости в любое другое время, в прошлом или будущем.

Я всегда чешу голову, когда слышу/читаю это. Если 3 или более твердых точечных частицы упруго сталкиваются в один и тот же момент , нельзя ли предсказать результирующие траектории? Если можно, то как?

Конечно, классическое столкновение двух частиц легко решается при рассмотрении задачи в системе отсчета центра масс, где и сохранение энергии, и импульса вместе позволяют решить проблему... Речь идет о столкновении трех классических точечных частиц ровно в тот же миг. Как решить проблему? А если ее нельзя решить, то почему говорят, что классическая механика детерминистична?
Почему это сложнее, чем 2 балла?
@Gugg: потому что (если я не ошибаюсь) двух условий (сохранения энергии и сохранения импульса) недостаточно для определения результирующей системы уравнений в случае трех или более частиц.
А для 2 частиц они есть?
@Gugg, да, смотри здесь .
Это только в 1 измерении. В других измерениях вы должны принять частицу в форме шара. Тогда вы можете сделать 3 измерения, а также.
@Mephisto 2 частицы в 3 измерениях имеют 6 степеней свободы. Закон сохранения импульса (3) и энергии (1) дает всего 4 уравнения.
В задаче n тел столкновения более чем двух одновременных частиц не могут быть продолжены аналитически, см. en.wikipedia.org/wiki/… , «хитрость» состоит в том, чтобы игнорировать их как крайне маловероятные, т.е. имеет нулевую меру Лебега.
@Джейми Интересно! Это только если предположить гравитацию между частицами, верно?
@Gugg Да, я считаю, что это больше связано с тем, что гравитационный потенциал становится бесконечным.
@ Хайме, означает ли это, что Лагранж и другие просто исключили возможность случайного синхронизированного столкновения трех частиц во всей Вселенной, когда они думали, что будущее можно гипотетически предсказать, зная все положение и импульсы в данный момент?

Ответы (2)

Серьезное отношение к случаю точечных частиц и «контактных» столкновений фактически вызывает затруднения даже в двумерном случае: мгновенные силы обязательно бесконечны, даже если импульсы остаются конечными.

Решение этой проблемы — признать, что все реальные частицы взаимодействуют через поля на ненулевых расстояниях — также решает проблему трех частиц. Вы просто интегрируете уравнения движения (возможно, численно, так как это может быть непросто в закрытой форме).

Это не обязательно в случае двухчастичных эластиков, потому что закон сохранения энергии и импульса полностью ограничивает результат, что позволяет нам опустить этот вопрос во вводной презентации.

Я не классический механик, но я читал о катастрофических решениях классической задачи трех точечных частиц + гравитации, когда частицы сталкиваются. Тогда уравнения движения становятся сингулярными и эволюция не может быть однозначно продолжена. Эти решения образуют «множество нулевой меры» в пространстве решений (признаюсь, я не знаю используемой меры). Я считаю, что эта проблема связана с тем фактом, что точечные частицы всегда сингулярны и нуждаются в регуляризации (конечный радиус или что-то подобное), даже когда они появляются в сочетании с теориями поля. попробую найти реф. Надеюсь, приедет специалист.
Хммм. не видел этого, но я не очень удивлен. Проблема, конечно, в точечных частицах. В какой-то момент, когда масштабы расстояний становятся очень короткими, вы должны отказаться от классического царства, потому что квантовое поле начинает доминировать во взаимодействии. В любом случае ссылка интересная.
@dmckee, спасибо за ответ. Однако мой вопрос касается классической механики и того, как можно назвать ее «детерминированной», если простое столкновение трех частиц не может быть решено. Как получилось, что Лагранж и другие до 1930-х годов думали, что мы можем теоретически предсказывать будущее и видеть прошлое, если мы можем знать все положения и импульсы частиц во Вселенной и так далее... Все в рамках классической механика. Но, опять же, спасибо за попытку ответить. Вопрос остается открытым, а именно, я до сих пор не понимаю, почему Классический Мех детерминирован.
@Mephisto: Классическая механика является детерминированной при применении к объектам и полям конечного размера с использованием механики сплошной среды на сплошных средах с конечной плотностью. Проблема в том, что нарушается понятие точечных частиц, а не классическая механика.

Я не нашел никакой ссылки на это. Ниже приводится мой подход к точечным частицам, сталкивающимся в одной и той же точке пространства в одно и то же время (упругое столкновение).

Рассмотрим двумерное движение и частицы, движущиеся к точке столкновения. Если бы массы и импульсы были равны, то было бы естественно предположить по симметрии рассеяние назад с равными импульсами в тех же направлениях прихода, но в противоположном направлении.

В то время как если бы только одна частица имела импульс, отличный от двух других, симметрия была бы неравномерной. Компоненты двух равных частиц, перпендикулярные линии симметрии, должны быть неизменными (только в обратном направлении). А компоненты вдоль линии симметрии вычислялись бы по балансу импульса налетающей частицы и суммы компонент двух оставшихся (в 2 раза больше единицы из-за симметрии), что повторяло бы случай столкновения с частица вдвое массивнее одной из двух равных, скорость которой уменьшена на косинус (потому что является составляющей исходного импульса).

Что касается случая, когда все импульсы и массы различны, я бы обобщил, уравновешивая каждую частицу с компонентами двух других вдоль ее направления. Это дало бы три уравнения, но только два из них были бы линейно независимыми. Это будет что-то похожее на рисунок (хотя на таком рисунке начальные импульсы равны нулю и частицы притягиваются друг к другу)

Изображение взято из Scholarpedia

Наконец, обратите внимание, что упомянутое ограничение (2D-движение) применимо и к 3D-столкновениям, поскольку движение центра масс происходит в одной плоскости.

В самом деле, если мы выберем линии движения двух частиц, эти две линии определяют плоскость. Третья линия вообще будет вне этой плоскости. Далее определим плоскость, содержащую три частицы в любой момент, как плоскость центра масс. Проекции импульсов каждой из частиц на эту плоскость не меняются во времени, так как не меняются суммарные импульсы и их углы с этой плоскостью. Более того, компоненты импульсов, перпендикулярные этой плоскости, одинаковы для всех частиц, так как эта плоскость движется к точке столкновения. Отсюда и название плоскости центра масс . (если хотите, я могу предоставить математическое доказательство)

Каков результат классического столкновения ТРЕХ точечных частиц в одно и то же мгновение?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v