колыбель Ньютона

Вопреки тому, что утверждается во многих учебниках, только закон сохранения энергии-импульса не может объяснить поведение колыбели Ньютона. Для N шаров у нас есть два уравнения и N конечных скоростей для расчета. Следовательно, законы сохранения могут работать только для N = 2. Это означает, что если мы хотим дать объяснение поведения колыбели, основанное на законах сохранения, мы должны разделить столкновение N шаров на последовательность столкновений двух шаров, как это сделано в некоторых ответах на вопрос.

Проблема с этим подходом заключается в том, что он предполагает, что изначально шары не касаются друг друга, что не так в большинстве колыбелей. Можно возразить, что на самом деле не имеет значения, что шары первоначально соприкасаются, важно только то, что время столкновения (время, в течение которого импульс передается от одного шара к другому) намного меньше, чем время, необходимое для механического возмущения. пересечь один мяч. Однако типичное время столкновения составляет порядка 0,1 мс, что намного больше, чем время распространения, равное примерно 0,01 мс. В таких условиях следует ожидать, что распространение волны по шариковой цепи будет играть существенную роль в динамике люльки.

Есть хорошая бумага,

Ф. Херрманн и П. Шмельцле. Простое объяснение известного эксперимента со столкновением. Являюсь. Дж. Физ. 49 , выпуск 8, стр. 761 (1981). дои: 10.1119/1.12407 . Версия в открытом доступе на веб-сайте Ф. Херрманна Karlsruher Physikkurs .

показывая, что распространение волны вдоль линии мяча должно быть бездисперсионным, если мы хотим найти равное количество входящих и вылетающих мячей. Авторы также представляют интересную картину того, как система решает, сколько шаров она собирается отправить. По сути, первый удар производит два волновых импульса, движущихся в противоположных направлениях вдоль линии мяча. Импульсы отражаются на концах линии и снова встречаются в точке разрыва цепочки шариков. Легко видеть, что эта точка разрыва симметрична (относительно середины линии) точке удара, что объясняет, почему количество вылетающих шаров равно количеству входящих.

Он одновременно сохраняет и энергию, и импульс при столкновении.

По замыслу, когда шары сталкиваются, струны, удерживающие их, располагаются вертикально (при условии, что шары качаются только с одной стороны). Это означает, что на шары не действуют горизонтальные силы от струны, поэтому линейный импульс в направлении качания должен сохраняться при столкновении. Энергия также почти сохраняется при условии, что не производится слишком много шума и тепла.

Рассмотрим случай с двумя шарами, когда каждый шар имеет массу$m$и скорость$v$в момент столкновения. Кинетическая энергия будет$E = mv^2$и импульс$p = 2mv$. Итак, предположим$n$шары должны были лететь с другой стороны со скоростью$u$. Энергия была бы$\frac{n}{2} mu^2$и импульс$nmu$. Таким образом, по сохранению мы должны иметь$mv^2 = \frac{n}{2} mu^2$а также$2mv = nmu$. Нетрудно видеть, что единственным решением этих уравнений вместе является$n=2$а также$u=v$.

Более полный анализ исключил бы решения с разными шарами, летящими с разной скоростью, но я думаю, что этого достаточно, чтобы продемонстрировать принцип.

Начнем с наблюдения от бильярда. Скажем, красный шар неподвижен, и вы ударили его точно в цель битком на скорости.$v$. Биток остановится, а красный шар продолжит движение со скоростью$v$. Любос дал хорошее и простое описание этого в своем ответе . Вы можете увидеть, как это происходит в начале этого видео .

Теперь представьте себе ряд шариков (скажем, красно-оранжево-желто-зелено-сине-фиолетовых), выстроенных идеально.

Вы попадаете кием точно в красный, и кий останавливается, и красный шар идет вперед. Через мгновение красный мяч ударяет по оранжевому мячу. Красный останавливается, а оранжевый идет вперед. Затем оранжевый ударяется о желтый и останавливается, и т. д. В конце концов фиолетовый шар выходит за линию, а все остальные шары в линии только что немного сдвинулись вниз по столу. Один мяч на входе, один мяч на выходе. Вы можете увидеть, как нечто подобное происходит через 50 секунд одного и того же видео (хотя оно не совсем идеально).

Теперь мы делаем это снова. Выровняйте все шары, но на этот раз катите биток к красному шару, а сразу за ним катите шар с номером 8.

Биток ударяется о красный шар и останавливается; красный шар идет вперед, как и раньше. Красный мяч попадает в оранжевый мяч. На этот раз происходит не только это. Одновременно с этим столкновением шар-8 врезается в остановившийся биток. После этих столкновений в движении находятся два шара — оранжевый шар впереди и биток, который теперь имел два столкновения, одно спереди и одно сзади.

Этот процесс повторяется по всей линии, всегда с двумя движущимися мячами и одним неподвижным мячом между ними. Ближе к концу два движущихся шара - это фиолетовый (последний) шар и зеленый (третий от последнего) шар. Фиолетовый мяч свободен, но зеленый мяч ударяется о синий, и это последнее столкновение. В результате синие и фиолетовые шары уходят из строя. Все остальное остановлено. Два мяча вошли и два вышли.

Отсюда нетрудно увидеть, что мы можем отправить три, четыре или даже 100 шаров (теоретически) и снова получить то же самое число.

Трудность с этим объяснением заключается в том, что в колыбели Ньютона шары физически соприкасаются друг с другом, и поэтому аргумент «стоп-старт» не применим в той же мере. Этот простой анализ должен сделать колыбель Ньютона правдоподобной, но полный аргумент опирается на изучение механики континуума, связанной со столкновениями между твердыми телами. В этой статье , упомянутой Георгом в комментариях, приводится такой анализ.

Примечание. Я не смотрел видео на YouTube полностью и не обязательно ручаюсь за все, что там говорится о физике. Я просто хотел примеры этих снимков. Кроме того, шары в бильярде катятся, что иногда может иметь значение по сравнению с колыбелью Ньютона, но здесь мы предполагаем, что это не так.

Во-первых, у меня есть бесплатное приложение для iPhone для колыбели Ньютона, которое называется Kinetic Balls и содержит около 500 скинов. ;-)

События в колыбели состоят из многих шагов, хотя они происходят быстро друг за другом. Особенно,

если у вас есть пять мячей, первый мяч начинает с столкновения со вторым мячом, второй мяч касается третьего мяча, третий мяч касается четвертого мяча, четвертый мяч касается пятого мяча. ХОРОШО?

Итак, давайте изучим, что происходит, когда первый мяч слева попадает во второй мяч слева. Скорость первого мяча равна$v$прежде чем он столкнется со вторым. Теперь проще взглянуть на столкновение из системы центра масс первых двух шаров.

Излишне говорить, что центр масс движется со скоростью, равной средней скорости первых двух (одинаково тяжелых) шаров. Потому что первый движется мимо$v$вправо, а второй имеет скорость, равную$0$, среднее значение$v/2$, ХОРОШО?

Перед столкновением первый шарик движется со скоростью$v-v/2=v/2$относительно центра масс, а второй шар движется со скоростью$0-v/2=-v/2$относительно центра масс рамы.

Теперь, что происходит после столкновения? Шарики не могут проникнуть друг в друга, поэтому их относительная скорость должна изменить знак: скорости просто меняются местами. Они меняют знак. Ситуация полностью симметрична относительно обмена двумя шарами в сочетании с отражением «левого» и «правого» в пространстве. Следовательно, две конечные скорости (в системе центра масс) должны быть равны до противоположного знака. Общая магнитуда гарантированно будет такой же, как и до столкновения, для сохранения кинетической энергии.$2\times mv^2/2$. Знаки должны быть противоположны друг другу, но также и противоположны исходным, потому что шарики не могут проникать друг в друга.

Таким образом, в системе центра масс после столкновения левый шарик будет двигаться со скоростью$-v/2$и правильный мяч будет двигаться мимо$+v/2$. Возвращаясь обратно от рамы с центром масс к лабораторной раме, мы должны добавить$v/2$опять таки. Таким образом, конечная скорость первого шара будет равна нулю, а конечная скорость второго шара будет$v/2+v/2=v$. ХОРОШО?

Теперь второй мяч приближается к третьему мячу со скоростью$v$а третий шар покоится. Возьмите опорную раму этих двух мячей.

Теперь повторите сказку выше четыре раза - я мог бы это сделать, это было бы очень увлекательно, но я хочу сохранить жесткие диски сервера - и вы получите ситуацию, в которой первые четыре шара покоятся и пятый движется со скоростью$v$Направо.

Учитывая, что первоначальные шары не отскакивают назад, на первоначальный вопрос можно ответить напрямую, как показывает верхний ответ, но ему нужно было указать, что он предполагает, что другие мячи не отскакивают или иным образом не двигаются. Я могу объяснить это без математики: большее или меньшее количество шаров не может оторваться с более низкой или более высокой скоростью, потому что энергия и импульс должны сохраняться, а они являются разными функциями скорости. Если вы измените скорость и если другие шары не будут двигаться, то вы нарушите один из принципов сохранения. Например, если бы только 1 мяч оторвался с удвоенной скоростью, импульс был бы таким же (сохранялся), как у двух влетающих мячей, но в вылетающем мяче было бы в два раза больше энергии, чем в двух входящих мячах. И наоборот, если бы 4 шара оторвались со скоростью, равной 1/2 скорости, импульс сохранился бы.

Однако гораздо труднее ответить на вопрос, разрешено ли другим шарам отскакивать в другом направлении.

Ответы, основанные на разделении, неверны, и один плакат намекнул на то, как на самом деле можно объяснить устройство. Только случайно расчет серии независимых ударов верен для нескольких шаров одинакового веса. Представьте себе 3 мяча, один из которых посередине намного тяжелее. Первый мяч отскочит, чего не происходит, когда они соприкасаются. Таким образом, расчет неверен по фундаментальной причине. Когда они соприкасаются, средний тяжелый мяч находится в сжатом состоянии, еще не отталкивая первый мяч, чтобы заставить его отскочить назад, прежде чем он отдаст энергию последнему мячу. Это не может быть смоделировано с одной ударной парой, за которой следует другая. Чтобы увидеть все более четко, смоделируйте шары как большие слабые пружины.

но решение для конечных скоростей можно найти, исследуя сжатие и расширение металлов в результате ударных волн. Сохранения энергии и импульса достаточно для объяснения системы, если потенциальная энергия и время перехода включены в расчеты сохранения энергии».

Теперь, чтобы ответить на исходный вопрос: как сказал другой постер, ударная волна встречается в точке, симметричной исходному столкновению. Однако ответ усложняется, если шары на конце имеют одинаковый вес, но разную длину. Ударные волны не встретятся с самого начала, но расширяющаяся система металла в конечном итоге заставит шары равного веса разделиться, так что первоначальные шары не отскочат назад.

Важное обновление/исправление:

Изучив это более подробно, я обнаружил, что никто не понимает, как работает колыбель. Теория отраженной ударной волны взята из: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ajp/Ball-chain_part1.pdf

но эти исследователи дополнили эту статью следующей: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ajp/Ball-chain_part2.pdf
, а затем другими: http://www-astro.physics.ox.ac .uk/~гассан/newton_cradle_2.pdf

в котором они показывают, что время столкновения в 10 раз медленнее, чем распространение звуковой (ударной) волны, что указывает на «герцевое сжатие» (а не просто ударные волны) описывает колыбель, включая упругость поверхностей раздела между шарами. У 5 шаров есть 4 границы раздела, поэтому энергия и импульс дают решение для конечной скорости 2 мячей, а затем отношение 3 последующих поверхностей к первой границе дает 3 переменные, необходимые для решения для остальных 3 мячей. Они применяются$F=ma$к каждому шару, где он находится в контакте с 1 или 2 его соседями, под действием псевдопружинной силы (герца) в поверхностном контакте$F=kx^{1.5}$скорее, чем$F=kx$. Это дает набор взаимозависимых дифференциальных уравнений, которые я сформулирую в конце для наиболее общего случая различных масс и различных поверхностных упругих констант (модуль Юнга). Это может согласовываться с экспериментом для случая, когда 1 шар ударяет по 4, которые соприкасаются, но дает неверное решение для случая, когда 2 ударяют по 3. Я решил эту систему уравнений в Excel и получил тот же результат, что и в этой статье: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/hinch/publications/PRSLA455_3201.pdfв котором скорости шаров 4 и 5 теоретически будут в 0,80 и 1,14 раза больше скорости двух влетающих шаров. В статье утверждается, что вы можете наблюдать разницу в скорости, но они не указывают, что это 2-кратная разница в кинетической энергии и, следовательно, высота, которую достигает 5-й шар, в 2 раза больше, чем 4-й, чего не происходит. вообще. (Если 5-й шар выходит максимум на 30 градусов, 4-й шар теоретически достигнет только 21 градуса, чего не происходит: они оба достигают 30 градусов одновременно). Вот$F=ma$уравнения, которые должны быть решены с помощью Рунге-Кутты, если теория Герца верна. Я делал это в Экселе.
$x$это смещение от точки покоя

$$\begin{align} m_1a_1 &= - A(x_1-x_2)^{1.5} \\ m_2a_2 &= A(x_1-x_2)^{1.5} - B(x_2-x_3)^{1.5} \\ m_3a_3 &= B(x_2-x_3)^{1.5} - C(x_3-x_4)^{1.5} \\ m_4a_4 &= C(x_3-x_4)^{1.5} - D(x_4-x_5)^{1.5} \\ m_5a_5 &= D(x_4-x_5)^{1.5} \end{align}$$

куда

$$\begin{align} A=\left(\frac2{(1/{k_1})^{2/3}+(1/{k_2})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ B=\left(\frac2{(1/{k_2})^{2/3}+(1/{k_3})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ C=\left(\frac2{(1/{k_3})^{2/3}+(1/{k_4})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ D=\left(\frac2{(1/{k_4})^{2/3}+(1/{k_5})^{2/3}}\right)^{1.5} \end{align}$$

Для подключения к рунге-кутте:

$$a=\frac{\mathrm dV(t)}{\mathrm dt}\ \text{and}\ x=tV(t)$$

$A, B, C, D$- чистая эффективная жесткость пружины между каждой парой шариков для поверхностного сжатия.

Таким образом, когда 2 или более мячей попадают в другие, никто не знает, как это работает. Даже в 2004 г. эти документы ошибочно назывались полным решением: http://www.maths.tcd.ie/~garyd/Publications/Delaney_2004_AmJPhys_Rocking_Newtons_Cradle.pdf

Люди, отвечающие на подобные вопросы, совершают ужасную ошибку, возвращаясь к упрощенной математике из учебников по физике, забывая, что упрощенная математика не представляет ни атомных механизмов, ни фактического способа действия импульса в реальном мире.

Колыбель Ньютона заставляет нас рассмотреть некоторые очень интересные следствия физики в реальном мире. Тот факт, что в колыбели используются сферы, означает, например, что передача энергии происходит через точку контакта поверхности, которая (теоретически) стремится к нулю. Сферы предназначены для приближения к идеально эластичному материалу.

Вот вопрос. Что произойдет, если одну сферу в конце заменить сферой такого же размера и вдвое большей массы? Поднятие этого шара, безусловно, будет похоже на подъем двух обычных, но приведет ли столкновение к тому, что две сферы на другом конце оторвутся?

Решение лежит в теории волн (ударные волны, распространяющиеся по металлу так же, как звуковые волны по воздуху). Обычно столкновение n-шариков заставляет n-шариков подниматься на другом конце, потому что ударную волну можно представить как длину n-шариков, движущуюся вниз по ряду шаров после того, как произошло начальное столкновение. Важно отметить, что скорость столкновения шара всегда должна быть намного ниже скорости распространения ударной волны по металлу, чтобы люлька вел себя должным образом.

Возвращаясь к вопросу о более тяжелом шаре, в этом случае большая масса в сфере того же размера подразумевает более высокую плотность, что изменит скорость, с которой ударная волна распространяется через материал. Что происходит, когда звуковая волна движется между материалами разной плотности? Высота тона и длина волны меняются. Тот же самый процесс дает нам преломление в призме волны, которая является светом.

На атомном уровне концепцию ударной волны будет трудно понять, поскольку в этом случае энергия входит в каждую новую сферу через крошечную точку контакта. «Ширина» энергии, движущейся по линии шаров, будет определять, сколько шаров улетит с другого конца, поскольку энергия по своей природе является кинетической. Инерция не позволяет кинетическому импульсу значительно сместить шары до тех пор, пока только крайние шары не будут обладать кинетической энергией и, таким образом, не смогут начать движение.

У каждого физика должна быть одна мантра, которую он повторяет снова и снова! «Модель не является реальностью». Модель — это математический инструмент, который мы создаем для предсказания поведения при определенных ограничениях (ограничениях, которые мы можем даже не понимать). Мы видим, как люди борются с проблемой колыбели Ньютона, потому что они упорно верят в то, что упрощенные модели никогда не должны заменяться более сложным пониманием. Только взгляните на эту чепуху, требующую, чтобы шарики имели минимальный зазор между собой, так что простую модель можно вообще применить. Посмотрите на дураков, которые думают, что это проблема n-шаров (не допускающих шаров разных размеров или плотности), как будто лежащая в основе физика имеет хоть какое-то отношение к макроколлекциям триллионов атомов в определенной форме, приятной Человеку.

Волновая теория лежит в основе современной физики. Люди, которые хотят созерцать динамику движущихся тел, всегда должны быть готовы перейти к более глубокому пониманию распространения энергии через различные материалы, когда проблема явно переключается с очень простых математических моделей на модели, которые должны учитывать лежащие в основе механизмы, вызванные природой. атомов (и их связей). Ньютоновская физика на макроуровне даст правильные решения только в том случае, если ключевые предположения останутся в силе. Колыбель Ньютона — это пример эксперимента, в котором ньютоновскую физику следует рассматривать на атомном уровне (создание ударной волны). Математика макроуровня (очень упрощенная модель реальности) не даст правильных результатов.