Какова роль классического уравнения движения в квантовой теории поля?

Существует тесная связь между классической и квантовой физикой, см., например, принцип соответствия Бора , теорему Эренфеста , приближение ВКБ и уравнения Швингера-Дайсона (ШД) для начала.

Один частный случай уравнений SD$\langle \frac{\delta S}{\delta\phi}\rangle=0$показывает, что классические EOM выполняются в квантовом усредненном смысле в квантовом мире.

Более того, можно показать, что классические пути дают доминирующий вклад в квантовый интеграл по путям .

Для этого вопроса, я думаю, два типа уравнений должны обсуждаться вместе.

1. Уравнения движения для фундаментальных полей в лагранжевой теории. Это то, что появляется в формулировке интеграла пути, которая говорит вам, насколько вероятным должно быть определенное отклонение.
2. Уравнениям сохранения удовлетворяют полиномы в тех полях, которые соответствуют токам. Даже несмотря на то, что могут быть аномалии , в целом следует ожидать, что эти уравнения все еще могут что-то сказать о квантовой теории.

Несколько вопросов о квантовании уже поднимались. Например, свободное квантовое поле часто выражается в терминах плоских волн.$e^{i p x}$потому что они решают уравнение Клейна-Гордона. Но возбуждение каждой плоской волны по отдельности — это то, что мы можем сделать только потому, что$\phi(x)$является их простой суммой, и это верно только потому, что уравнение Клейна-Гордона является линейным. Так что в этом смысле тот факт, что гильбертово пространство является пространством Фока, действительно является следствием уравнения движения. Поэтому понятно, что в учебниках взаимодействующие КТП обсуждаются по-разному. Если бы они это сделали, то по существу они были бы ограничены определенными интегрируемыми КТП, которые можно рассматривать с помощью аналогичного подхода .

Тем не менее, я думаю, что самое большое изменение точки зрения происходит потому, что мы продвигаем поля для операторов. Невозможно напрямую измерить операторно-значное распределение. Экспериментаторам нравятся элементы S-матрицы или функции Грина, где мы можем подставить позицию или импульс и получить число. Таким образом, мы должны задаться вопросом, можно ли уравнения движения вывести «за скобки» и заставить их воздействовать на сами корреляционные функции. Ответ на этот вопрос – да , но здесь есть свои тонкости. Например, пропагатор свободного поля является функцией Грина уравнения Клейна-Гордона, поэтому вместо

$$(\partial_x^2 + m^2) \left < \phi(x) \phi(y) \right > = 0$$ у нас есть $$(\partial_x^2 + m^2) \left < \phi(x) \phi(y) \right > = \delta(x - y).$$ Это то, что известно как операторное уравнение , которое превращается в классическое уравнение, если мы рассматриваем его только в отдельных точках . Это различие связано с тем, что в классической теории два поля можно произвольно перемножать, тогда как в квантовой теории составные операторы сингулярны и нуждаются в перенормировке. Это происходит и для законов сохранения, таких как $$\partial_\mu \left < T^{\mu\nu}(x) O_1(x_1) \dots O_n(x_n) \right > = -\sum_i \delta(x - x_i) \partial^\nu_i \left < O_1(x_1) \dots O_n(x_n) \right >$$ которое является операторным уравнением для тензора напряжений.

Дело в том, что, как только сделан этот скачок к операторным уравнениям, они сильно ограничивают квантовую теорию. Тождества Уорда в калибровочных теориях, которые связывают различные функции Грина, возникают из-за сохранения тока. Некоторые скейлинговые измерения в конформных теориях могут быть вычислены именно потому, что уравнения движения эквивалентны условиям сокращения . Т.е. они указывают, что оператор должен преобразовываться в специальное представление конформной группы, в котором гарантированно исчезают различные потомки. Этот анализ также важен, когда мы добавляем взаимодействия, которые нарушают конформную инвариантность. Мы знаем, что взаимодействия приводят к аномальным измерениям, но это означает, что короткие представления должны стать длинными.. Это снова приводит к ограничениям (иногда достаточно сильным, чтобы избавиться от диаграмм Фейнмана), потому что общее гильбертово пространство не обеспечивает материю, которую должен «есть» короткий мультиплет. Наконец, если принять суперпространство, все эти короткие супермультиплеты (с названиями типа «половина BPS» и т. п.) можно также рассматривать как решения уравнений движения. И умное использование этих уравнений движения лежит в основе некоторых современных методов изучения суперсимметричной КТП с помощью «поворота», который превращает сложную наблюдаемую во что-то топологическое или голоморфное.