Интеграл по путям и геометрическое квантование

В частном случае геометрического квантования относительно кэлеровой поляризации (которое покрывает континуальный интеграл для спина по$S^2$упоминается в вопросе), существует строгий способ определения интеграла по путям, т. е. относительно хорошо определенной меры на пространстве путей. См., например, следующую статью Лорана Шарля. Этот тип континуального интеграла был предложен Ф. А. Березиным в его знаменитой статье о ковариантных и контравариантных операторных символах. (Есть онлайн- версия на русском языке, в которой дискретизированная версия дается на последней странице (перед ссылками)).

На самом деле Виттен использовал этот интеграл по траекториям в своей основополагающей работе « Квантовая теория поля и полином Джонса» , но не показал его явно. Форма, используемая Виттеном, которая будет описана здесь, представляет собой представление интеграла по путям петли Вильсона. Здесь я напишу этот частный случай интеграла по траекториям в более понятной форме и попытаюсь объяснить стоящую за ним физическую интуицию.

$\left < tr_{\mathcal{H}}T\{exp(i\int_0^T B^{a}(t) \sigma_a)\}\right > = \mathrm{lim}_{m\rightarrow \infty}\int exp\big (i\int _0^T \alpha^{\mathcal{H}}_i\dot{z}^i - \bar{\alpha}^{\mathcal{H}}_i \dot{\bar{z}}^i + \frac{m}{2}g_{i\bar{j}}\dot{z}^i \dot{\bar{z}}^j+B^{a} (t)\Sigma^{\mathcal{H}}_a(z, \bar{z})\big) \mathcal{D}z\mathcal{D}\bar{z}$

Левая часть — это след упорядоченного во времени произведения спина (или, в более общем смысле, элемента алгебры Ли$\sigma_a)$) в сочетании с внешним магнитным полем$B^{a}$в представлении$\mathcal{H}$. Как объяснил Виттен в соответствии с теоремой Бореля Вейля Ботта, каждому представлению соответствует коприсоединенная орбита с заданной келеровой формой$\omega^{\mathcal{H}}$в зависимости от представления$\mathcal{H}$. Интеграл по путям выполняется на этом многообразии. Это риманов интеграл по путям, действие которого содержит 3 типа членов: первые члены зависят от симплектических потенциалов$\alpha^{\mathcal{H}}$удовлетворяющий:$\omega^{\mathcal{H}} =d\alpha^{\mathcal{H}}$. Этот член имеет форму взаимодействия с магнитным монополем.

Второй член - это член римановой кинетической энергии. Третий член пропорционален функциям Гамильтона$\Sigma^{\mathcal{H}}_a(z, \bar{z})$чьи скобки Пуассона удовлетворяют алгебре Ли на коприсоединенной орбите. Этот член относится к типу взаимодействия с внешним переменным во времени магнитным полем.

Таким образом, интеграл по путям является нерелятивным интегралом по путям по римановому многообразию в присутствии магнитных полей. Другими словами, соответствующий гамильтониан является магнитным оператором Шрёдингера. Как хорошо известно, решениями этих типов задач являются уровни Ландау а, а самый нижний уровень Ландау в общем случае вырожден.

Важным наблюдением является то, что когда масса частицы$m$стремится к бесконечности, энергии возбужденных уровней Ландау становятся очень высокими и разъединяются, поэтому мы остаемся с самым нижним уровнем Ландау, который оказывается в точности представлением$\mathcal{H}$мы начали с.

Стоит отметить, что эта форма интеграла по траекториям имеет и другие приложения и использовалась в работах по гейзенберговским ферромагнетикам и удержанию кварков.

Должен признаться, что не до конца понял ваш вопрос, но постараюсь ответить на него :)

После выполнения процедуры геометрического квантования (предквантования и поляризации) вы получаете вполне определенное гильбертово пространство (которое в общем случае бесконечномерно). Кроме того, при подходящих условиях вы можете квантовать классические наблюдаемые для получения квантовых операторов. Предположим, вы получили оператор Гамильтона$H$. Тогда вы сможете переформулировать эту «квантовую» теорию в формализме интеграла по путям. Обсуждение интеграла по путям в рамках геометрического квантования можно найти в стандартной книге: Woodhouse: Geometric Quantization!

Дополнительное замечание: интегралы по путям определены и для конечномерных гильбертовых пространств. Они еще проще, поскольку «интеграл по всем путям» сводится к «сумме по всем возможным промежуточным состояниям». Google должен помочь вам с интегралами по путям в системах с двумя/многими состояниями (например, http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2008/lec22.pdf ).