Какова сохраняющаяся величина масштабно-инвариантной Вселенной?

Симметрию, о которой вы спрашиваете, обычно называют масштабным преобразованием или расширением, и она, наряду с преобразованиями Пуанкаре и конформными преобразованиями, является частью группы конформных изометрий пространства Минковского. В большом классе теорий можно построить «улучшенный» тензор энергии-импульса$\theta^{\mu \nu}$так что нётеровский ток, соответствующий масштабным преобразованиям, определяется выражением$s^\mu=x_\nu \theta^{\mu \nu}$. Пространственный интеграл временной составляющей$s^\mu$— сохраняющийся заряд. Четко$\partial_\mu s^\mu = \theta^\mu_\mu$поэтому сохранение$s^\mu$равносильно обращению в нуль следа тензора энергии-импульса. Следует отметить, что большинство квантовых теорий поля не инвариантны относительно масштабных и конформных преобразований. Те из них называются конформными теориями поля, и они очень подробно изучались в связи с фазовыми переходами (где теория становится масштабно-инвариантной в точке перехода), теорией струн (двумерная теория на мировом листе струн представляет собой CFT) и некоторые разделы математики (изучение алгебр вершинных операторов является изучением особого вида CFT).

спасибо за хороший вопрос. Она имеет прямое отношение к тематике конформных теорий поля . Я нашел очень хорошую ветку на другом форуме, где, я думаю, был дан ответ на ваш вопрос.
Тем не менее, я постараюсь обобщить здесь основные моменты и, возможно, добавить некоторые моменты.

Симметрии в общей теории относительности

В общих теориях относительности симметрии соответствуют изометрии метрики $g=g_{ab}dx^a dx^b$, сказать$\varphi^\star g = g$. Значит, если двигаться по пути такой симметрии, она не меняется. Это можно выразить через производную Ли .

где скобки означают симметрирование по индексам и$v = \dot\varphi(t)$векторное поле, связанное с$\varphi$. Очень хорошие вводные расчеты для этого можно найти в книге Robert M. Wald: General Relativity и Hans Stephani's Introduction to Special and General Relativity .

Если$n$является единицей геодезической, дальнейшее интегрирование

приводит к сохраняющимся величинам , поскольку

Известных примеров масса$M$(или энергия) для стационарного пространства-времени или углового момента$J$для осевой симметрии (да, можно приписать пространству-времени угловой момент, я сначала нашел это озадачивающим),

Конформные изометрии

Сейчас ситуация немного другая. Конформный вектор Киллинга $c$теперь приводит к симметрии вида

В вашем случае вы заставляете$\omega = 1$но это не имеет большого значения, как вы увидите дальше.

Что происходит с «уравнением сохранения»? У нас есть

который равен нулю только в том случае, если$n^a n_a = 0$, нуль-геодезическая. Итак, только для очень особого класса движений, здесь световых частиц, можно найти симметрию. Но это было ожидаемо, поскольку конформные преобразования не изменят углы, поэтому движение света не будет затронуто.

Я не думаю, что это сохраняющаяся величина в смысле Эмми Нётер.

Искренне

Роберт

PS.: Приношу извинения за неудобства, связанные с обозначениями. Надеюсь, из контекста все понятно.

Джефф Харви, конечно же, дал вам идеальный стандартизированный ответ: масштабная инвариантность сводится к бесследованию тензора энергии-импульса. Но бесследность на самом деле не является «сохраняющейся величиной» в обычном смысле, которого вы, возможно, ждали.

Однако можно преобразовать проблему к чему-то, что является сохраняющейся величиной в обычном смысле.

В частности, вы можете взять свою масштабно-инвариантную вселенную и вставить точечный объект в выбранную точку, которую я назову началом координат. В квантовой теории поля это достигается путем воздействия на состояние вакуума локальным оператором в начале координат.

Преобразования, доказывающие масштабную инвариантность, — это всего лишь радиальные расширения, сохраняющие начало координат нетронутым. Законы физики инвариантны относительно этих преобразований, по предположению, и эта симметрия эквивалентна сохранению размерности оператора из предыдущего абзаца. Но его сохранение не по отношению к нормальной эволюции во времени, а эволюции в «радиальном времени»,$\ln(r)$. Следовательно, размерности всех операторов хорошо определены в масштабно-инвариантных теориях. В масштабно-неинвариантных теориях они будут зависеть от масштаба перенормировки.

Я добавил это словесное упражнение, чтобы подчеркнуть, что масштабные преобразования в масштабно-инвариантной теории аналогичны — и в очень четко определенном математическом смысле эквивалентны — обычным переносам во времени. Чтобы быть немного конкретным, подумайте о двумерных евклидовых теориях. Комплексная координата$z$может быть записано как$\exp(a+ib)$. Здесь,$b$- периодическая угловая переменная с периодичностью$2\pi$. Однако,$a$реален и идет от$-\infty$к$+\infty$.

Масштабные преобразования есть не что иное, как обычные переносы в$a$которые связаны с гамильтонианом. Например, вы расширяете$z$ $e$-раз путем сдвига$a$одним. И действительно, масштабная инвариантность в двух измерениях подразумевает полную конформную инвариантность — относительно всех преобразований, сохраняющих углы — так что вместо того, чтобы смотреть на$z=x+iy$самолете, вы с таким же успехом можете посмотреть на$a+ib$плоскости, где исходное масштабное преобразование выглядит как обычный перевод в$a$направление. В силу конформной симметрии вид действия в$z$а также$a+ib$координаты идентичны.

В более высоких измерениях не совсем верно, что масштабная инвариантность (и лоренцевская/вращательная симметрия) подразумевает полную конформную симметрию, но в важных случаях это так или иначе верно.

С наилучшими пожеланиями Любош

Стандартным результатом теории фракталов является то, что любой набор отображений сжатия, которые не перекрываются «слишком сильно», будет иметь уникальный аттрактор, и, кроме того, в принципе эти аттракторы имеют некоторую хаусдорфову размерность; Я думаю, что это инвариантное количество, которое вы ищете. См., например , Шакарчи и Штейн , том 3, глава 7, теорема 2.9.

Строгий краткий ответ на Вопрос – количество частиц инвариантно (в целом).
Известно, что СМ не сохраняет энергию, т.е. Нётер действует только до тех пор, пока отношение материя/пространство постоянно.
Из приведенных выше ответов мы видим, что вы не знаете ни о какой масштабно-инвариантной теории, поддерживающей физические законы.
Главный вопрос: как показать, что физические законы выполняются в масштабно-инвариантной модели? Многие физики пытались и потерпели неудачу (Дирак, Кануто Хойл и Нарликар, Медер и Бувье, Вессон).
Я представлю резюме « Самоподобная модель Вселенной раскрывает природу темной энергии » Альфредо Г. Оливейры, представленное PRX 1 июля 2011 года. (Боже мой, мое имя в газете!)
Если мы прикрепим референт к частице, скажем, к атому, показанному выше серым цветом, мы не сможем обнаружить никакой эволюции. Это наша реальная ситуация; мы осматриваемся в лабораториях и, естественно, не замечаем никакой эволюции.
В Вопросе упоминается только изменение длины, в ответе Любоша также упоминается различное время, но эта процедура недостаточна для того, чтобы иметь правильную самоподобную модель. Это должно быть сделано «физическим» способом:
давайте сожмем атом (атом — это наша ссылка для Массы, Длины, Времени) Прошлого в атом Настоящего. С точки зрения внешней инвариантной ссылки 'S' (Пространство) изменилась Единица Длины, а также изменилась Единица Массы, а также изменилась единица Времени, потому что скорость света является константой c — это свойство поля/пространства.
Очевидно, что атомный наблюдатель (ограниченный своим атомным эталоном) видит пространственное расширение. Космологическое красное смещение света галактик (далеких по времени и расстоянию) свидетельствует о том, что в прошлом атомные процессы были медленнее, чем в настоящем.
Быть$M(t_S)=Q(t_S)=L(t_S)=T(t_S)=\alpha(t_S)$отношение, описывающее эволюцию единиц во времени с точки зрения S по отношению к единицам атомного наблюдателя ($\alpha(t_S)$закон подобия).
В статье выводится, используя только законы физики, не делая никаких гипотез и отступая только от измеренных данных, что закон масштабирования$\alpha(t_S) = e^{-H_0\cdot t_S}$.
Цитирование резюме и выводов

Анри Пуанкаре проанализировал, как мы получаем информацию, подчеркнув относительный характер наших данных и то, что наш выбор единиц измерения служит удобству получения простейшей формы физических законов;
Эйнштейн проанализировал, как мы калибруем системы отсчета, как мы приписываем координаты событиям, какие единицы времени и длины мы используем;
здесь размышление на эту тему распространяется на свойства единиц, что позволило нам понять, что инвариантность частиц в стандартных единицах есть свойство этих единиц, а не частиц; также стало ясно, как расширение пространства может отслеживать самоподобное явление, и было обнаружено важное, но ранее незамеченное свойство единиц постоянных поля, которое способно поддерживать наблюдаемое расширение пространства. Из двух принятых результатов наблюдений, инвариантности констант и скалярного расширения пространства, и принимая во внимание, что наблюдаемое расширение пространства является следствием самоподобного явления, выводится модель, которая подтверждает классические космические тесты, а также$\Lambda$Модель CDM, несмотря на наличие только одного параметра, параметра Хаббла. У этой модели есть удивительные черты, а именно:
(1) Нет никакого теоретического конфликта с фундаментальными физическими законами, кроме нового члена в одном законе сохранения, который находится за пределами нынешних возможностей прямого измерения.
(2) Стандартные системы единиц теряют свою привилегированную роль, физические законы действуют и в пространственной, сопутствующей системе единиц.
(3) В стандартных единицах эта модель поддерживает такое же описание вселенной$\Lambda$Модель ЦДМ. Несмотря на то, что эта скейлинговая модель не является космологической моделью, она вносит некоторый вклад в космологию, а именно:
(1) Пространство старше материи.
(2) Материя, поле и излучение исчезают в космических единицах.
(3) Возникает простое объяснение отсутствия тенденции к гравитационному коллапсу.
(4) Проясняется роль темной энергии и космологической инфляции.
Эта статья — только первая из трех; во второй статье анализируются последствия этой модели в масштабе Солнечной системы, а в третьей анализируется крупномасштабная структура Вселенной.
До сих пор знание о Вселенной устанавливалось в единицах, где атомарные свойства неизменны; эти единицы очень удобны для описания систем тел, но когда они используются для описания свойств пространства, результат вызывает недоумение. Преодоление этого ограничения является главным достижением данной работы.

Конечно, можно возразить: «Я не верю, что это может случиться с атомами!» и я возражу: «Как пространство может расширяться?».
Документ доступен здесь (архив закрыт для моего друга Альфредо, вероятно, даже Перельман больше не может использовать arxiv). Эту модель я знаю с 1991 года, а предварительную версию можно найти в архиве от 2002 года; тогда публика была не готова прочитать эту модель, и я ожидаю, что мы развились до более зрелой позиции.