Какой закон сохранения соответствует этой локальной U(1)U(1)U(1)-симметрии CCR?

Известно, что канонические коммутационные соотношения не фиксируют вид оператора импульса. Это означает, что если канонические коммутационные соотношения (CCR) задаются формулой

[ Икс ^ я , п ^ Дж ]   "="   я ℏ   дельта Дж я   1

они могут быть удовлетворены следующим выбором операторов импульса:

п Икс "=" − я час ∂ ∂ Икс + ∂ ф ∂ Икс

п у "=" − я час ∂ ∂ у + ∂ ф ∂ у

п г "=" − я час ∂ ∂ г + ∂ ф ∂ г

где ф ( Икс , у , г ) - произвольная функция.

С другой стороны, при любом выборе ф ( Икс , у , г ) операторы импульса могут быть преобразованы в их наиболее часто используемую форму ( − я час ∂ ∂ Икс ) (и т.д. для у и г ) следующим преобразованием волновой функции ψ и операторы п :

ψ ′ "=" е − я час ф ( Икс , у , г ) ψ

п Икс ′ "=" е − я час ф ( Икс , у , г ) п Икс е + я час ф ( Икс , у , г ) "=" − я час ∂ ∂ Икс

Следовательно, мы получаем U ( 1 ) калибровочное преобразование, использующее только канонические коммутационные соотношения для операторов импульса и положения.

Означает ли это, что U ( 1 ) калибровочная инвариантность соответствует сохранению импульса, а не электрического заряда?

Ответы (1)

1) Если мы интерпретируем преобразование ОП 1 как пассивное преобразование , т.е. простое изменение координат/описания, которое не изменяет систему, то нет закона сохранения.

2) Итак, в дальнейшем давайте будем интерпретировать преобразование OP как активное преобразование.

Чтобы система обладала симметрией, ее действие С (или, точнее, в этом квантово-механическом контексте, его гамильтонов оператор ЧАС ^ ) должны соблюдать эту симметрию. Соответствующий закон сохранения будет зависеть от конкретной формы гамильтониана ЧАС ^ . Это все, что мы можем сказать о QM.

3) Наконец, в контексте теории поля мы можем интерпретировать преобразование ОП.

(1) ℏ я ∇   ⟶   е − я Λ ( р ) ℏ я ∇ е я Λ ( р )

как чисто калибровочное преобразование в электромагнитной теории с нулевой напряженностью электромагнитного поля.

При интерпретации как электромагнитной теории, с одной стороны, глобальная калибровочная симметрия приводит к сохранению электрического заряда, ср. Первая теорема Нётер . См. также этот вопрос Phys.SE.

С другой стороны, не существует сохраняющейся величины, связанной с локальной калибровочной симметрией как таковой, ср. Вторая теорема Нётер . (Его нётеровская идентичность вне оболочки — тривиальная вещь. См. также этот вопрос Phys.SE.)

--

1 Преобразование ОП связано с выбором фазовых факторов в перекрытиях между собственными состояниями положения и импульса в КМ, ср. этот пост Phys.SE.

Какой закон сохранения соответствует этой локальной U(1)U(1)U(1)-симметрии CCR?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v