Какова связь между циклическими координатами и векторными полями убийства?

Мой вопрос связан с этим вопросом . Здесь есть еще три или четыре вопроса о векторных полях убийства, однако ни один из них, которые я видел, не касается моего вопроса.

$\\$

Я изучал дифференциальную геометрию и думал о векторных полях убийства .

$\\$

В ответе Стэна Лю он упоминает циклические координаты. В геодезическом уравнении

$$\ddot{y} + \Gamma^y_{xx}\dot{x}\dot{x} + \Gamma^y_{xy}\dot{x}\dot{y} + \Gamma^y_{yx}\dot{y}\dot{x} +\Gamma^y_{yy}\dot{y}\dot{y} = 0$$

мы видим, что x является циклической координатой. Более того, он упоминает Killing Vector Fields.

$\\$

Я знаком с концепцией циклических координат, дающих интеграл движения, как обсуждалось в Landau Vol. 1, например.

Здесь для$q_i$циклическая координата уравнение Эйлера-Лагранжа для$q_i$

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{q}_i} \right) - \frac{ \partial L}{ \partial q_i} = 0$$

сводится к

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{q}_i} \right) = 0$$

откуда

$$\frac{ \partial L}{ \partial \dot{q}_i} = E_i$$

скажем, является интегралом движения.

$\\$

Более того, мы знаем, что поле вектора убийства$K$является изометрией метрического тензора$g$такой, что

$$\mathcal{L}_{\small K} g = 0$$

То есть,$K$является симметрией метрического тензора$g$. Итак, для диффеоморфизмов$\phi : M \rightarrow M$которые «двигают нас по интегральным кривым$K$' (я не знаю, как лучше это сформулировать!) метрический тензор$g$останется прежним.

$\\$

Однако, когда мы запишем геодезические уравнения, будут ли эти две вещи каким-то образом одинаковыми, так что мы найдем

$$K \sim q$$

для$K$вектор убийства и$q$циклическая координата?

Кажется, что в случае циклических координат мы имеем гиперповерхность$\Sigma \subset \mathbb{R}^4$с декартовыми координатами$x^{i} = (x,y,z)$с$t$наша «лишняя» координата, по которой мы «движемся», и интеграл движения остается прежним, где$(M,g)$вот наше лоренцево многообразие.

$\\$

Кроме того, я весьма близок к форме Киллинга в теории групп Ли как к симметричной билинейной форме, определяемой формулой

$$K(X,Y) = \mbox{tr}(\mbox{ad}_X \mbox{ad}_Y)$$

где$X, Y$ $\in \mathfrak{g}$для некоторой алгебры Ли$g$, с$\mbox{ad}_X$присоединенное представление$X \in \mathfrak{g}$. Тогда эта форма Киллинга биинвариантна относительно действия группы Ли G и обладает многими другими замечательными свойствами, такими как невырожденность и отрицательно определенность для полупростых компактных групп.

$\\$

Мы также можем использовать форму Киллинга для определения метрики на базовом многообразии нашей группы Ли.$G$, поэтому часть меня чувствует, что эти идеи связаны, но пока я не могу слить их воедино в своей голове.

$\\$

Итак, вкратце, мой вопрос: являются ли векторные поля убийства «просто» циклическими координатами? (Я использую просто здесь вольно) Если нет, то в чем именно разница?

$\\$

Спасибо