Связь между когомологиями и БРСТ-оператором

Когомологии призрачной алгебры Ли

Позволять$\mathfrak{g}$быть нашей алгеброй Ли и$V_\rho$пространство представления с картой представления$\rho : \mathfrak{g} \to \mathrm{End}(V_\rho)$.$V_\rho$по действию через представление, естественно, является$\mathfrak{g}$-модуль (людям не хватает кольцевой структуры в$\mathfrak{g}$- просто вложить его в универсальную обертывающую алгебру ). Мы определяем ассоциированный комплекс Шевалли-Эйленберга как комплекс$V_\rho$-значные дифференциальные формы на$\mathfrak{g}$:

$$\dots \overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p-1}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho \overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho\overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p+1}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho\overset{\mathrm{d}}{\to}$$

чьи когомологии мы называем когомологиями алгебры Ли$\mathfrak{g}$с коэффициентами в$V_\rho$. Теперь алгебраист встревожен: в нашем комплексе есть уродливый дифференциал, который портит удовольствие! Построим для него операторное выражение:

Напомним, что на$\Lambda^p \mathfrak{g}^*$, у нас есть две естественные операции:

Сжатие , которое

$$\iota : \Lambda^1 \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \Lambda^0 \mathfrak{g}^*, (\omega,G) \mapsto \omega(G)$$

распространяется на всех$\Lambda^p\mathfrak{g}^\ast$установив$\iota(\omega \wedge \xi,G) = (\omega\wedge\xi)(G) \wedge (-1)^{\mathrm{deg}(\omega)}\omega\wedge(\xi(G))$и произведение клина , которое

$$\wedge : \Lambda^p \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}^* \to \Lambda^{p+1} \mathfrak{g}^*, (\omega,k)\mapsto k\wedge\omega$$

и они определяют два оператора$\iota_G = \iota(-,G)$а также$\wedge_k = k \wedge -$действующий на$p$-формы.

Теперь выберем любой канонически двойственный базис$\mathfrak{g}$соотв.$\mathfrak{g}^*$, давайте назовем их$T_a$соотв.$S^a$, и написать

$$\mathrm{d} = \wedge_{S^a}\rho(T_a) - \frac{1}{2}\wedge_{S^a}\wedge_{S^b}\iota_{[T_a,T_b]}$$

Используя его на основе элементов$\Lambda^{p}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho$, мы можем показать прямым вычислением, что это действительно дифференциал из комплекса Шевалле-Эйленберга и, следовательно, операторное выражение для дифференциала. Определение$c^a := \wedge_{S^a}$как призрак и$b_a := \iota_{T_a}$поскольку антипризрак дает, что дифференциал Шевалле-Эйленберга действительно является БРСТ-оператором

$$Q = \mathrm{d} = c^a\rho(T_a) - \frac{1}{2}f^c_{ab} c^a c^b b_c$$

Что значит$Q$вычислить в физике?

Классически мы применяем этот подход к симплектическим многообразиям/фазовым пространствам.$\mathcal{M}$которые обладают (симплектоморфным) групповым действием группы Ли$G$, и мы строим эквивариантное отображение моментов

$$\mu : \mathcal{M} \to \mathfrak{g}^*$$

определяется как эквивариантность относительно коприсоединенного действия$G$на$\mathfrak{g}^*$и выполнение$\mathrm{d}(\mu(\dot{})(g)) = \omega(\rho(g),\dot{})$с$\omega$как симплектическая форма. Если действие$G$представляет калибровочную симметрию, мы хотели бы получить коизотропную редукцию $\tilde{\mathcal{M}} := \mathcal{M}/ G$не содержащие избыточности. Задайте подмногообразие$M_0 := \mu^{-1}(0)$и заметим, что алгебра Пуассона функций на$\tilde{\mathcal{M}}$выполняет

$$C^\infty(\tilde{\mathcal{M}}) = H^0(\mathfrak{g};C^\infty(M_0))$$

так как нулевые когомологии алгебры Ли с коэффициентами в модуле состоят в точности из элементов модуля, инвариантных относительно действия группы, и поскольку естественная проекция$\pi : \mathcal{M}_0 \to \tilde{\mathcal{M}}$обеспечивает возврат от функций приведения к$\mathcal{M}_0$. Мы не хотим здесь перефразировать вывод комплекса Кошуля , достаточно сказать, что$H^0(\mathfrak{g};C^\infty(M_0))$можно вычислить, взглянув на комплекс

$$\dots \to \Lambda^2 \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to \Lambda \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}) \to 0$$

и вычисления$H^0 = C^\infty(\mathcal{M}_0)$а также$H^p = 0$в противном случае, что приводит к проективному разрешению

$$\dots \to \Lambda^2 \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to \Lambda \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}_0) \to 0$$

что дает, поскольку тензорное произведение остается точным, проективную резольвенту для$\Lambda^p \mathfrak{g}^* \otimes C^\infty(\mathcal{M}_0)$

Получается бикомплекс$C^{p,q} := \Lambda^p \mathfrak{g}^* \otimes \Lambda^q \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M})$, из которого обычный градуированный комплекс$\mathcal{C}^p$может быть построен$\mathcal{C}^p := \bigoplus_{r + s = p}C^{r,s}$, который является печально известным комплексом BRST и который можно записать как$\mathcal{C}^p = \Lambda^p(\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}^*) \otimes C^\infty(\mathcal{M})$

С некоторой алгебраической магией, включающей структуру супералгебры Пуассона этого комплекса, можно повторить шаги для вывода явного из для дифференциала из призрачных когомологий для алгебр Ли и получить, что здесь

$$\mathrm{d} = \{Q,\dot{}\}$$

с$Q \in \mathcal{C}^1$являющийся классическим БРСТ-оператором, и на этот раз призраки и антипризраки являются образами генераторов$\mathfrak{g}$а также$\mathfrak{g}^*$при естественном встраивании их в$\Lambda(\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}^*$).

---

Более длинное, но все же быстрое и очень читаемое обсуждение этого вопроса можно найти в конспектах лекций Хосе Фигероа-О'Фаррилла по «BRST-когомологиям» .