Какова вероятность того, что электрон атома на Земле окажется вне галактики?

Величина, которую вы должны рассмотреть в первую очередь, - это радиус Бора , это дает вам представление о соответствующих атомных масштабах,

$$a_0 = 5.29\times 10^{-11} ~{\rm m}$$

Для водорода (наиболее распространенного элемента) в его основном состоянии вероятность найти электрон за пределами расстояния$r$из центра выглядит примерно так (для$r \gg a_0$)

$$P(r) \approx e^{-2r/a_0}$$

Теперь давайте подставим некоторые числа. Вириальный радиус Млечного Пути составляет около$200 ~{\rm kpc} \approx 6\times 10^{21}~{\rm m}$, поэтому вероятность найти электрон за пределами галактики из атома на Земле составляет около

$$P \sim e^{-10^{32}}$$

это... довольно низко. Но вам не нужно заходить так далеко, чтобы показать этот эффект, вероятность того, что электрон атома в вашей ноге будет найден в вашей руке, равна$\sim 10^{-10^{10}}$.

То, что сказано в видео, правда, но... помните, что атомная теория - это всего лишь теория. Сама теория предсказывает, что возмущения будут иметь очень большое влияние на результаты.

Учтите, что модели основаны на гипотезах, которые легко нарушаются. Например, сферическая симметрия, позволяющая найти решение в атоме водорода (точнее, в кулоновском потенциале в КМ). Реальность никогда не бывает такой, но мы можем сказать, что «она достаточно близка», если атом находится достаточно далеко от других объектов.

Тем не менее, отсюда и за пределы Млечного Пути так много возмущений, что модель просто не сработает. Вы можете сказать, что есть уровень$n=1324791$, но там так много частиц, что эффект вашего атома абсолютно превосходит ЛЮБОЙ другой.

Итак, имеет ли смысл вычислять такую ​​вероятность, если что-то может захватить этот электрон гораздо легче? Я так не думаю.

То, как вы формулируете свой вопрос, нарушает квантовую механику: утверждение, что «должна быть часть всех атомов на Земле, электрон которой находится за пределами Млечного Пути», не имеет смысла в рамках квантовой механики. То, что вы можете задать, и то, что другие ответили, — это варианты вопроса о том, насколько вероятно найти связанный электрон на галактическом расстоянии от ядра, с которым он связан.

Я подчеркиваю этот момент, который мы обычно отклоняем как семантику, потому что это различие облегчает понимание того, что есть второй способ, в котором ваш вопрос не имеет большого смысла, кроме как упражнение в нумерации экспоненциальных функций: электроны неразличимы. Откуда вы знаете, что электрон, от которого рассеивается фотон вашего измерительного прибора, является «электроном, принадлежащим атому?» Ответ заключается в том, что вы не можете этого сделать, если не знаете, что вокруг нет других электронов. Таким образом, вам придется держать атом в ловушке, вакуум которой таков, что длина свободного пробега на несколько порядков превышает радиус вашего возбужденного атома, а это означает, что ловушка такая же большая. На самом деле, вы бы нево много - много раз больше. Почему? Потому что каждый второй электрон во Вселенной имеет ненулевую вероятность оказаться внутри вашей ловушки, а электронов очень много . Вы хотите, чтобы общая вероятность столкновения с блуждающим электроном была достаточно малой, чтобы не мешать вашему эксперименту. В противном случае вы не сможете приписать электрон, который рассеял ваш измерительный фотон, к конкретному интересующему вас атому. В конце концов, никто не ищет электрон так, как искали бы грелку.

Редактировать: я хочу добавить две вещи, которые могут представлять интерес, если вы хотите глубже погрузиться в электроны вдали от ядра.

Во-первых, вы действительно можете найти прямые измерения электронных облаков водорода, см. на этой странице обмена стеками: Есть ли экспериментальная проверка форм орбит s, p, d, f? Это показывает, несмотря на ужасную цветовую гамму в статье, быстрое падение вероятностей с увеличением расстояния.

Во-вторых, активно исследуются атомы, в которых электроны находятся далеко от ядра. В этих так называемых ридберговских атомах электроны возбуждаются до энергетических уровней чуть ниже ионизации, где современные экспериментальные установки могут достаточно приблизиться к ионизации, чтобы достичь атомных радиусов.$r \sim \textrm{const.}/\Delta{}E \sim 100 \mu m$с$\Delta E$энергия ионизации. Это все еще далеко от галактических расстояний, но эти эксперименты показывают, что квантовая механика на самом деле работает на несколько порядков ближе к интересующим вас масштабам длины.

Учитывая один электрон, какова вероятность того, что он находится за пределами Млечного Пути? Мы можем оценить это, используя волновую функцию основного состояния атома водорода,

$$\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0} ,$$ где$a_0 \approx 5*10^{-11}\, m$— боровский радиус.$|\psi|^2$- плотность вероятности, интегрирование дает $$p_1 = \int_R^\infty |\psi_{100}|^2 4\pi r^2\, dr = \frac{e^{-2R/a_0}(a_0^2 + 2a_0 R + 2R^2)}{a_0^2} .$$ Подключение$R \approx 5*10^{20}\, m$радиус Млечного Пути, получаем $$p_1 \approx \exp(-2*10^{31}) \approx 10^{-10^{31}} .$$

Это число настолько мало, что трудно понять, насколько оно мало. В Земле много электронов - около$N = 10^{51}$- но количество электронов совершенно ничтожно по сравнению с этими шансами. Вероятность того, что какой-либо электрон окажется за пределами Млечного Пути, равна

$$p = 1 - (1 - p_1)^N \approx N p_1 = 10^{51} \, \cdot \, 10^{-10^{31}}$$ который даже не делает никакой вмятины.

утверждается, что электроны обращаются вокруг ядра своего атома не по известным фиксированным орбитам, а внутри «облаков вероятности», т. е. пространств вокруг ядра, где они могут находиться с вероятностью 95%, называемых «орбиталями».

Я полагаю, вы не удивитесь, узнав, что ваше пятиминутное видео на YouTube сильно упрощает ситуацию, замалчивает большинство деталей и вдобавок немного вводит в заблуждение. Однако справедливо то, что модель электронов, вращающихся вокруг атомных ядер, подобно планетам, вращающимся вокруг звезды, не может адекватно объяснить все наши наблюдения. Модель атомной орбиты, которую описывает видео, в этом отношении лучше, поэтому она, вероятно, ближе к реальности, хотя и не на 100% верна — она неадекватна даже для простейших молекул.

Но важно понимать, что модель атомных орбит очень сильно отличается от модели вращающихся электронов. «Орбиталь» не следует интерпретировать как нечто даже внешне похожее на «орбиту», кроме как в ее написании. В частности, видео, кажется, дало вам представление о том, что электрон на атомной орбитали всегда находится в каком-то точном месте, но мы просто не знаем, где именно. Это, кажется, большая часть вдохновения для вопроса.

Более полезный способ взглянуть на это состоит в том, что до тех пор, пока электрон не будет локализован наблюдением, он делокализуется во всей Вселенной, но не равномерно. С этой точки зрения функция плотности, соответствующая атомной орбитали, является не плотностью вероятности местоположения электрона, а скорее функцией плотности массы и заряда, описывающей его делокализацию. Граница 95%, о которой упоминается в видео, в этом смысле касается не того, где вы можете найти электрон, а того, сколько электрона вы найдете.

Между прочим, это число в 95% — просто условность. Полезно выбрать некоторую границу, чтобы обдумать и изобразить расположение (в широком смысле) электронов, и именно это число оказывается удобным для этой цели по целому ряду причин.

Также утверждается, что чем дальше от ядра ищут электрон, тем больше эта вероятность уменьшается, но никогда не достигает 0. Авторы видео приходят к выводу, что существует ненулевая вероятность того, что атом имеет «по ту сторону Вселенной».

Это правда, что независимо от того, рассматриваете ли вы атомную орбитальную плотность как плотность вероятности, как плотность массы/заряда, или и то, и другое, она нигде не падает точно до нуля, даже за тысячи световых лет от ядра. Но это настолько близко, что не имеет практического значения.

Но что более важно, вопрос спорный. Атомно-орбитальная модель — которая, как вы помните, всего лишь модель — учитывает только один атом. Даже если бы это было точно правильно для этого случая, реальная вселенная содержит гораздо, гораздо больше на гораздо, гораздо меньших расстояниях. Модель атомной орбиты не претендует на применимость на таких масштабах расстояний в реальной Вселенной. Если бы мы когда-либо определили, что конкретный электрон находится на таком расстоянии от конкретного ядра в определенное время, мы пришли бы к выводу, что электрон не был связан с этим ядром (и, таким образом, модель атомных орбит не применима к паре ), потому что очень много других ядер, электронов и других вещей будут взаимодействовать с выбранным нами электроном сильнее, чем выбранное нами ядро.

Если это так, то должна быть часть всех атомов на Земле, электрон которых находится за пределами Млечного Пути.

Не так. На Земле конечное число атомов с конечным числом электронов. Если мы рассматриваем электроны как локализованные объекты, так что имеет смысл говорить о конкретных местах, то существует огромное количество конфигураций этих электронов, таких, что ни одна из них не находится за пределами Млечного Пути. Таким образом, нет необходимости , чтобы за пределами Млечного Пути была ненулевая доля земных электронов.

Какая часть атомов обладает этим свойством?

Поскольку это вероятностный аргумент, я полагаю, вы спрашиваете об ожидаемой (в статистическом смысле) пропорции. Другой ответ вычислил вероятность нахождения любого данного земного электрона за пределами Млечного Пути примерно как e ^{-10 32} . Это будет ожидаемая пропорция. Однако, чтобы представить это немного в перспективе, существует порядка 10 ⁵⁰ земных электронов . Если мы предположим, что положения электронов не коррелированы друг с другом, то произведение этих двух чисел будет количеством земных электронов, которые мы ожидаем найти за пределами галактики.

Это будет e ^{50log10 - 10 32} , что почти не отличается от e ^{-10 32} , которое почти не отличается от нуля. Таким образом, в очень хорошем приближении мы ожидаем увидеть ровно 0 земных электронов за пределами Млечного Пути. Даже если упрощающие допущения в этом вычислении вносят существенную ошибку, у нас есть много-много порядков, с которыми нужно поиграться, прежде чем мы заметно отодвинем стрелку от нуля.

Я хочу связать воедино некоторые темы, которые уже упоминались здесь, но я хочу сформулировать идеи по-другому.

Идея о том, что атом водорода может быть описан одноядерной одноэлектронной волновой функцией, а именно

$$\psi ( r_{nucleus}, r_{electron})$$ это приближение, которое справедливо только тогда, когда можно пренебречь влиянием любого другого атома во Вселенной. Если у меня есть два тесно взаимодействующих атома водорода, мне нужно изучить двухядерную, двухэлектронную волновую функцию. $$\psi ( r_{nucleus 1}, r_{nucleus 2}, r_{electron 1}, r_{electron 2} )$$ и рассмотрим все квантово-механические симметрии, которые применимы, поскольку все электроны неразличимы и являются фермионами. Среди прочего, изучая эту вторую волновую функцию, я обнаружу, что два атома водорода иногда лучше описать как молекулу диводорода! Что-то совершенно качественно отличное от изолированных атомов. Это очень важный результат квантовой механики и квантовой химии.

Когда мы считаем, что любой данный электрон и любое данное ядро ​​могут быть очень далеко друг от друга и что между ними может быть очень много других атомов, нам нужно расширить нашу волновую функцию, чтобы учесть все ядра и все электроны. Наши решения вполне могут выглядеть совсем не так, как у изолированных атомов водорода. Самое главное, мы потеряем способность окончательно связать любой данный электрон с любым данным ядром.

В результате этого утверждение о том, что атом рядом со мной теперь имеет «свой электрон» на другом конце галактики, не является четко определенным утверждением в квантовой механике.

Однако с математической точки зрения определенно имеет смысл выдвинуть гипотезу о Вселенной только с одним ядром и одним электроном и обсудить (отдаленную) вероятность того, что в любом данном квантовом состоянии они разделены расстоянием в галактическом масштабе. Некоторые другие ответы дают эти цифры. Но это не наша вселенная.